Questão: (15 pontos) Considere a equação
Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação para encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos usar derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
na equação. Também vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada na expressão
e no número
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
usando a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original, temos:
Isso porque a derivada de uma constante, como 4, é zero.
Passo 6
Vamos distribuir o
:
Passo 7
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar tirando o sinal negativo de cima e de baixo:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: