2^a Questão: (15 pontos) Considere a equação
y cdot tg(e^x+y)=4
Determine y^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação para encontrar y' , que é a derivada de y em relação a x . A equação que temos é:
y cdot tg(e^x + y) = 4
Para resolver isso, vamos usar derivação implícita, que é útil quando y está misturado com x na equação. Também vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x . Isso significa que vamos aplicar a derivada na expressão y cdot tg(e^x + y) e no número 4 .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' . Aqui, u = y e v = tg(e^x + y) . Então:
ddx(y cdot tg(e^x + y)) = y' cdot tg(e^x + y) + y cdot ddx(tg(e^x + y))

Passo 4

Agora, vamos derivar tg(e^x + y) usando a regra da cadeia. A derivada de tg(u) é sec^2(u) cdot u' , onde u = e^x + y . Então:
ddx(tg(e^x + y)) = sec^2(e^x + y) cdot (e^x + y')

Passo 5

Substituindo de volta na equação original, temos:
y' cdot tg(e^x + y) + y cdot sec^2(e^x + y) cdot (e^x + y') = 0
Isso porque a derivada de uma constante, como 4, é zero.

Passo 6

Vamos distribuir o y cdot sec^2(e^x + y) :
y' cdot tg(e^x + y) + y cdot sec^2(e^x + y) cdot e^x + y cdot sec^2(e^x + y) cdot y' = 0

Passo 7

Vamos agrupar os termos que contêm y' :
y' ( tg(e^x + y) + y cdot sec^2(e^x + y) ) = - y cdot sec^2(e^x + y) cdot e^x

Passo 8

Finalmente, isolamos y' :
y' = - y cdot sec^2(e^x + y) cdot e^x tg(e^x + y) + y cdot sec^2(e^x + y)
Podemos simplificar tirando o sinal negativo de cima e de baixo:
y' = - y cdot sec^2(e^x + y) cdot e^x tg(e^x + y) + y cdot sec^2(e^x + y)

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
y' = - y cdot sec^2(e^x + y) cdot e^x tg(e^x + y) + y cdot sec^2(e^x + y)

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