Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
82) sumk=1^infty (-1)^k k^32^k+2

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a série
sumk=1^infty (-1)^kk^32^k+2
Quanto ao (a) teste de convergência absoluta e (b) teste de convergência condicional. Para isso, vamos primeiro verificar a série de termos absolutos e aplicar o critério da razão.

Passo 2

Examinamos a série de termos absolutos:
sumk=1^infty|(-1)^kk^32^k+2| =sumk=1^inftyk^32^k+2 =14sumk=1^inftyk^32^k
A constante 1/4 não afeta a convergência, então aplicamos o critério da razão em
ak=k^32^k:
L=limktoinftyak+1ak =limktoinfty(k+1)^3/2^,k+1k^3/2^,k =limktoinfty(k+1)^3k^3cdot12 =12<1
Como L<1, a série sum k^3/2^k converge, e logo sum k^3/2^k+2 também converge.

Passo 3

Conclusão sobre convergência:
— A série de termos absolutos converge, logo a série original converge absolutamente.
— Sendo absolutamente convergente, não é apenas condicionalmente convergente.

Resposta

(a) Converge absolutamente.
(b) Não converge apenas condicionalmente (converge de forma absoluta).

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