Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
9)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar para quais valores de ela converge absolutamente.
O conteúdo principal aqui é teste da razão (ou de Cauchy) para séries de potências, que nos permite achar o raio de convergência e, em particular, ver onde a série converge absolutamente.
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Aplicaremos o teste da razão a ak=|x|^2k+1(2k+1)!.
Quando ktoinfty, o denominador cresce sem limite, logo
limktoinftyak+1ak =0
Passo 4
Pelo teste da razão, se
L=limktoinftyak+1ak<1,
a série de ak converge. Como aqui L=0<1 para todo valor de x, concluímos que a série de valores absolutos converge para todos os xinR. Portanto a série original converge absolutamente em todo R.