Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
9) sumk=0^infty(-1)^k x^2 k+1(2 k+1)!=x-x^33!+x^55!-x^77!+ldots

Passo 1

O enunciado dá a série
sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!
e pede para determinar para quais valores de x ela converge absolutamente.
O conteúdo principal aqui é teste da razão (ou de Cauchy) para séries de potências, que nos permite achar o raio de convergência e, em particular, ver onde a série converge absolutamente.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumk=0^infty|(-1)^kx^2k+1(2k+1)!| =sumk=0^infty|x|^2k+1(2k+1)!
Aplicaremos o teste da razão a ak=|x|^2k+1(2k+1)!.

Passo 3

Calculamos
ak+1ak =|x|^2(k+1)+1/(2(k+1)+1)!|x|^2k+1/(2k+1)! =|x|^2k+3(2k+3)!cdot(2k+1)!|x|^2k+1 =|x|^2(2k+2)(2k+3)
Quando ktoinfty, o denominador cresce sem limite, logo
limktoinftyak+1ak =0

Passo 4

Pelo teste da razão, se
L=limktoinftyak+1ak<1,
a série de ak converge. Como aqui L=0<1 para todo valor de x, concluímos que a série de valores absolutos converge para todos os xinR. Portanto a série original converge absolutamente em todo R.

Resposta

A série converge absolutamente para todo xinR.

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