Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
26) sumk=1^infty (x-3)^kk(k+1)

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em x=3:
sumk=1^infty(x-3)^kk(k+1)
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência usando o Teste da Razão e depois verificar o comportamento nos pontos extremos do intervalo obtido.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão a
ak=(x-3)^kk(k+1).
Calculemos
L=limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty|(x-3)^k+1(k+1)(k+2)cdotk(k+1)(x-3)^k| =limktoinftyl|x-3r|kk+2 =l|x-3r|
O teste diz que converge se L<1, logo
|x-3|<1 Longrightarrow 2<x<4

Passo 3

Analisemos o extremo x=4. A série vira
sumk=1^infty(4-3)^kk(k+1) =sumk=1^infty1k(k+1)
Usamos a identidade telescópica
1k(k+1) =1k-1k+1,
logo, para N genérico,
sumk=1^N1k(k+1) =sumk=1^Nl(1k-1k+1r) =1-1N+1 longrightarrow 1 quando Ntoinfty
Portanto a série converge em x=4.

Passo 4

Analisemos o extremo x=2. A série torna-se
sumk=1^infty(2-3)^kk(k+1) =sumk=1^infty(-1)^kk(k+1)
É uma série alternante cujos termos bk=tfrac1k(k+1) são positivos, monótonos decrescentes e tendem a zero. Pelo Critério de Leibniz, ela converge em x=2.

Resposta

O intervalo de convergência é
[2,4]

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