Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
26)
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em :
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência usando o Teste da Razão e depois verificar o comportamento nos pontos extremos do intervalo obtido.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão a .
Calculemos
O teste diz que converge se L<1, logo
|x-3|<1 Longrightarrow 2<x<4
Passo 3
Analisemos o extremo x=4. A série vira
sumk=1^infty(4-3)^kk(k+1) =sumk=1^infty1k(k+1)
Usamos a identidade telescópica
1k(k+1) =1k-1k+1,
logo, para N genérico,
sumk=1^N1k(k+1) =sumk=1^Nl(1k-1k+1r) =1-1N+1 longrightarrow 1 quando Ntoinfty
É uma série alternante cujos termos bk=tfrac1k(k+1) são positivos, monótonos decrescentes e tendem a zero. Pelo Critério de Leibniz, ela converge em x=2.