Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
34) sumk=1^infty (x-1)^k3^k raizk+1

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em x0=1:
sumk=1^infty(x-1)^k3^kraizk+1
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar os extremos.

Passo 2

Denotando
ak = (x-1)^k3^kraizk+1,
calculamos a razão
|ak+1ak| = l|x-1r|^,k+13^,k+1raizk+2;cdot;3^,kraizk+1l|x-1r|^,k = l|x-1r|3,raizk+1k+2

Passo 3

Tomando o limite quando ktoinfty, obtemos
limktoinfty|ak+1ak| = l|x-1r|3
Pela condição do teste da razão, a série converge se
l|x-1r|3<1 Longrightarrow l|x-1r|<3
Logo o raio de convergência é R=3 e o intervalo aberto associado é
1-3 < x < 1+3 Longrightarrow -2 < x < 4

Passo 4

Agora verificamos os extremos:
  1. x=-2:
    Substituindo na série,
    sumk=1^infty(-2-1)^k3^kraizk+1 = sumk=1^infty(-3)^k3^kraizk+1 = sumk=1^infty(-1)^kraizk+1
    É uma série alternante com termos bk=1/raizk+1 que decrescem a zero; pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).
  2. x=4:
    Substituindo,
    sumk=1^infty(4-1)^k3^kraizk+1 = sumk=1^infty3^k3^kraizk+1 = sumk=1^infty1raizk+1
    Esta é uma p-série com p=tfrac12<=1, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
boxed[-2,,4)

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