Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
34)
34)
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência centrada em
:
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar os extremos.
Passo 2
Denotando
calculamos a razão
Passo 3
Tomando o limite quando
ktoinfty , obtemos
Pela condição do teste da razão, a série converge se
Logo o raio de convergência é
R=3 e o intervalo aberto associado é
Passo 4
Agora verificamos os extremos:
-
:x=-2
Substituindo na série,sumk=1^infty(-2-1)^k3^kraizk+1 = sumk=1^infty(-3)^k3^kraizk+1 = sumk=1^infty(-1)^kraizk+1 É uma série alternante com termos que decrescem a zero; pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).bk=1/raizk+1 -
:x=4
Substituindo,sumk=1^infty(4-1)^k3^kraizk+1 = sumk=1^infty3^k3^kraizk+1 = sumk=1^infty1raizk+1 Esta é uma -série comp , logo diverge.p=tfrac12<=1
Resposta
O intervalo de convergência é