Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
25)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
Aqui o centro da série é e o que precisamos é do raio de convergência (pelo teste da razão ou da raiz) e depois verificar a convergência nos pontos extremos.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão em valor absoluto. Defina
Então
Tomando o limite ktoinfty
limktoinfty |ak+1ak| = |x+2|3
Para convergência pelo teste da razão precisamos desse limite ser menor que 1, ou seja
|x+2|3<1
Passo 3
Da condição
|x+2|3<1
segue
|x+2|<3,
que equivale ao intervalo aberto
-3 < x+2 < 3 Longrightarrow -5 < x < 1
Portanto o raio de convergência é R=3 e, até agora, sabemos que a série convergirá para xin(-5,1).