Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
25) sumk=1^infty (x+2)^k(k+1) 3^k

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
sumk=1^infty (x+2)^k(k+1),3^k
Aqui o centro da série é x0=-2 e o que precisamos é do raio de convergência (pelo teste da razão ou da raiz) e depois verificar a convergência nos pontos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão em valor absoluto. Defina
ak = (x+2)^k(k+1),3^k
Então
|ak+1ak| = |(x+2)^k+1(k+2),3^,k+1;(k+1),3^k(x+2)^k| = |x+2|3,k+1k+2
Tomando o limite ktoinfty
limktoinfty |ak+1ak| = |x+2|3
Para convergência pelo teste da razão precisamos desse limite ser menor que 1, ou seja
|x+2|3<1

Passo 3

Da condição
|x+2|3<1
segue
|x+2|<3,
que equivale ao intervalo aberto
-3 < x+2 < 3 Longrightarrow -5 < x < 1
Portanto o raio de convergência é R=3 e, até agora, sabemos que a série convergirá para xin(-5,1).

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Em x=-5, temos x+2=-3 e a série vira
sumk=1^infty(-3)^k(k+1),3^k = sumk=1^infty(-1)^kk+1
Esta é uma série alternada com termo geral em módulo 1k+1 que decresce a zero. Pelo teste de Leibniz, ela converge (mas não absolutamente).
  1. Em x=1, temos x+2=3 e a série fica
sumk=1^infty3^k(k+1),3^k = sumk=1^infty1k+1,
que diverge pois é essencialmente a soma harmônica.

Resposta

O intervalo de convergência é
boxed[-5,,1)

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