Resolva os seguintes PVIs (Problemas de Valores Iníciais):
(0,5) d yd x=x cos x2 y+e^3 y com y(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
0,5,dydx = xcos x2y + e^3y, y(0)=0
É uma EDO de primeira ordem e separável. Vamos usar separação de variáveis e integração para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro isolamos dy e dx. Dividindo ambos os lados por 0,5 (que equivale a multiplicar por 2) e multiplicando por 2y+e^3y, obtemos
dydx = 2xcos x2y + e^3y Longrightarrow (2y + e^3y),dy = 2xcos x,dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral(2y + e^3y),dy = integral 2xcos x,dx

Passo 4

Calculamos separadamente cada integral:
– Lado esquerdo:
integral 2y,dy = y^2, integral e^3y,dy = 13e^3y,
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integral(2y + e^3y),dy = y^2 + 13e^3y
– Lado direito:
integral 2xcos x,dx = 2integral xcos x,dx =2l(xsin x + cos xr)
Portanto a forma integral é
y^2 + 13e^3y = 2xsin x + 2cos x + C

Passo 5

Usamos y(0)=0 para achar C. Ao substituir x=0 e y=0:
LHS = 0^2 + tfrac13e^0 = tfrac13, RHS = 2cdot0cdotsin0 + 2cos0 + C = 2 + C
De tfrac13 = 2 + C segue C = -tfrac53

Passo 6

Substituindo C na solução geral, obtemos a solução implícita do PVI:
y^2 + 13e^3y = 2xsin x + 2cos x - 53

Resposta

y^2 + 13e^3y = 2xsin x + 2cos x - 53

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