Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
35)
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
O conteúdo principal é reconhecer que se trata de uma série geométrica e usar o critério de convergência de séries geométricas, que exige , onde é a razão.
Passo 2
Reescrevemos a série na forma canônica de uma série geométrica:
Aqui a razão é .
Passo 3
Aplicamos o critério de convergência de séries geométricas, que diz que
converge se, e somente se,
Logo impomos
Passo 4
Resolvemos a desigualdade
llvert 2x-1rrvert<5
em duas partes:
-5<2x-1<5
Somando 1 a todos os termos:
-4<2x<6,
e dividindo por 2:
-2<x<3
Passo 5
Verificamos os extremos:
Em x=-2, tem-se q=(2(-2)-1)/5=-1, e a série vira sum(-1)^k, que não converge (os termos não tendem a zero).
Em x=3, tem-se q=(2cdot3-1)/5=1, e a série vira sum1, que diverge.
Portanto, os extremos ficam excluídos.