Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
35) sumk=0^infty (2 x-1)^k5^k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumk=0^infty(2x-1)^k5^k
O conteúdo principal é reconhecer que se trata de uma série geométrica e usar o critério de convergência de séries geométricas, que exige lvert qrvert<1, onde q é a razão.

Passo 2

Reescrevemos a série na forma canônica de uma série geométrica:
sumk=0^infty(2x-1)^k5^k =sumk=0^inftyl(2x-15r)^k
Aqui a razão é q=2x-15.

Passo 3

Aplicamos o critério de convergência de séries geométricas, que diz que
sumk=0^inftyq^k
converge se, e somente se,
lvert qrvert<1
Logo impomos
llvert2x-15rrvert<1

Passo 4

Resolvemos a desigualdade
llvert 2x-1rrvert<5
em duas partes:
-5<2x-1<5
Somando 1 a todos os termos:
-4<2x<6,
e dividindo por 2:
-2<x<3

Passo 5

Verificamos os extremos:
  1. Em x=-2, tem-se q=(2(-2)-1)/5=-1, e a série vira sum(-1)^k, que não converge (os termos não tendem a zero).
  2. Em x=3, tem-se q=(2cdot3-1)/5=1, e a série vira sum1, que diverge.
    Portanto, os extremos ficam excluídos.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-2,,3)

Exercícios relacionados