Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
30) sumk=2^infty k(7 x+1)^k2^k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
sumk=2^inftyk,(7x+1)^k2^k
Aqui reconhecemos uma série da forma sum ak com
ak = k,(7x+1)^k2^k
Para achar o intervalo de convergência vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão, calculando
L = limktoinfty|ak+1ak| = limktoinfty |(k+1),(7x+1)^,k+1/2^,k+1k,(7x+1)^k/2^k| = limktoinftyk+1k,|7x+12| = |7x+12|
O Teste da Razão diz que a série converge se L<1, ou seja,
|7x+12|<1

Passo 3

Resolvendo a desigualdade
|7x+12|<1 Longrightarrow |7x+1|<2 Longrightarrow -2<7x+1<2
Subtraindo 1:
-3<7x<1 Longrightarrow -37<x<17

Passo 4

Falta verificar os extremos x=-tfrac37 e x=tfrac17.
  • Para x=-tfrac37 temos 7x+1=-2, então
    ak = k(-2)^k2^k = k,(-1)^k
    Como limktoinftyk,(-1)^k não é zero, a série diverge.
  • Para x=tfrac17 temos 7x+1=2, então
    ak = k2^k2^k = k,
    e claramente limktoinftykneq0, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
l(-tfrac37,,tfrac17r)

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