1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. f(x)=2(1-x)^3 ( Dica: f(x)=d^2d x^2(11-x))

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências de
f(x)=2(1-x)^3
e o raio de convergência. Vamos usar o fato de que
11-x=sumn=0^inftyx^n, |x|<1,
e que podemos diferenciar termo a termo essa série para obter potências de (1-x)^-2 e (1-x)^-3.

Passo 2

Primeiro lembramos a série geométrica básica:
11-x=sumn=0^inftyx^n, |x|<1
Dessa forma o raio de convergência inicial é R=1.

Passo 3

Pela dica,
2(1-x)^3 =d^2dx^2l(11-xr)
Logo basta diferenciar duas vezes a série de 11-x.

Passo 4

Diferenciando termo a termo:
ddxsumn=0^inftyx^n =sumn=1^inftyn,x^n-1,
d^2dx^2sumn=0^inftyx^n =ddxsumn=1^inftyn,x^n-1 =sumn=2^inftyn(n-1),x^n-2

Passo 5

Como vimos que
d^2dx^2l(11-xr) =sumn=2^inftyn(n-1),x^n-2
e isso é exatamente tfrac2(1-x)^3, fazemos a troca de índice k=n-2, obtendo
2(1-x)^3 =sumk=0^infty(k+2)(k+1),x^k

Passo 6

O raio de convergência dessa série continua sendo R=1, pois deriva-se a partir da série geométrica sem alterar o raio.

Resposta

2(1-x)^3 =sumn=0^infty(n+2)(n+1),x^n, |x|<1,
com raio de convergência R=1.

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