- Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
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Dica:
Passo 1
O enunciado pede a representação em série de potências de
e o raio de convergência. Vamos usar o fato de que
e que podemos diferenciar termo a termo essa série para obter potências de
e
.
Passo 2
Primeiro lembramos a série geométrica básica:
Dessa forma o raio de convergência inicial é
.
Passo 3
Pela dica,
Logo basta diferenciar duas vezes a série de
.
Passo 4
Diferenciando termo a termo:
Passo 5
Como vimos que
e isso é exatamente
, fazemos a troca de índice
, obtendo
Passo 6
O raio de convergência dessa série continua sendo
, pois deriva-se a partir da série geométrica sem alterar o raio.
Resposta
com raio de convergência
.