1. Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
  2. x-11-x^2

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências centrada em ,0 da função
x-11-x^2 e o raio de convergência. Vamos usar manipulação algébrica e a série geométrica.

Passo 2

Reescrevendo a função por frações simples:
x-11-x^2 = x-1-(x^2-1) = -x-1(x-1)(x+1) = -1x+1

Passo 3

Para lvert xrvert<1 a série geométrica diz
11+x = sumn=0^infty(-1)^nx^n

Passo 4

Multiplicando por -1 obtemos a série da nossa função:
-11+x = sumn=0^infty(-1)^n+1x^n

Passo 5

O raio de convergência da série geométrica é dado pela condição lvert xrvert<1. Portanto,
R=1

Resposta

x-11-x^2 = sumn=0^infty(-1)^n+1x^n
O raio de convergência é R=1.

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