Resolver os sistemas de equações diferenciais para as funções de t :
l d xd t=y+4 t d yd t=4 x+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que envolve duas funções, x(t) e y(t) . O que a gente vai precisar aqui são conhecimentos de equações diferenciais lineares e como resolver sistemas de equações desse tipo. Basicamente, vamos separar as equações para encontrar soluções para x(t) e depois para y(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira equação do sistema:
dxdt = y + 4t
Nossa meta aqui é isolar y . Então, rearranjando a equação:
y = dxdt - 4t
Agora, temos y em termos de dxdt e t .

Passo 3

Vamos usar essa expressão para y na segunda equação do sistema:
dydt = 4x + t^2
Substituindo y por dxdt - 4t :
ddt(dxdt - 4t) = 4x + t^2
Isso simplifica para:
d^2xdt^2 - 4 = 4x + t^2

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2xdt^2 - 4x = t^2 + 4
Essa é uma equação linear não homogênea. Para resolver, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
d^2xdt^2 - 4x = 0
A gente monta a equação característica:
r^2 - 4 = 0 Rightarrow r = pm 2
Então, a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t
Onde C1 e C2 são constantes que determinam a solução geral.

Passo 6

Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação não homogênea:
d^2xdt^2 - 4x = t^2 + 4
Vamos supor que a solução particular tenha a forma de um polinômio:
xp(t) = At^2 + Bt + C
Onde A , B e C são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias:
dxpdt = 2At + B
d^2xpdt^2 = 2A
Substituímos na equação diferencial:
2A - 4(At^2 + Bt + C) = t^2 + 4
Explicando, estamos substituindo xp e suas derivadas na equação original para encontrar os valores de A , B e C .

Passo 8

Agora, vamos simplificar e igualar os coeficientes de termos semelhantes:
-4A t^2 - 4B t + (2A - 4C) = t^2 + 4
Igualando os coeficientes:
-4A = 1 Rightarrow A = -14
-4B = 0 Rightarrow B = 0
2A - 4C = 4 Rightarrow 2(-14) - 4C = 4 Rightarrow -12 - 4C = 4 Rightarrow C = -98

Passo 9

Com os valores de A , B e C encontrados, temos a solução particular:
xp(t) = -14 t^2 - 98

Passo 10

A solução geral da equação diferencial para x(t) é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t - 14 t^2 - 98

Passo 11

Agora, para encontrar y(t) , lembramos que:
y = dxdt - 4t
Calculamos a derivada de x(t) :
dxdt = 2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 12 t
Substituindo na expressão para y :
y(t) = 2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 12 t - 4t = 2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 92 t

Resposta

As soluções gerais do sistema de equações diferenciais são:
x(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t - 14 t^2 - 98
e
y(t) = 2C1 e^2t - 2C2 e^-2t - 92 t
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais adicionais.

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