Resolver os sistemas de equações diferenciais para as funções de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que envolve duas funções,
e
. O que a gente vai precisar aqui são conhecimentos de equações diferenciais lineares e como resolver sistemas de equações desse tipo. Basicamente, vamos separar as equações para encontrar soluções para
e depois para
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira equação do sistema:
Nossa meta aqui é isolar
. Então, rearranjando a equação:
Agora, temos
em termos de
e
.
Passo 3
Vamos usar essa expressão para
na segunda equação do sistema:
Substituindo
por
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação linear não homogênea. Para resolver, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular.
Passo 5
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A gente monta a equação característica:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinam a solução geral.
Passo 6
Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma de um polinômio:
Onde
,
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituímos na equação diferencial:
Explicando, estamos substituindo
e suas derivadas na equação original para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 8
Agora, vamos simplificar e igualar os coeficientes de termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Passo 9
Com os valores de
,
e
encontrados, temos a solução particular:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial para
é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 11
Agora, para encontrar
, lembramos que:
Calculamos a derivada de
:
Substituindo na expressão para
:
Resposta
As soluções gerais do sistema de equações diferenciais são:
e
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais adicionais.