Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
36) sumk=1^infty (k+4) x^k(k+1)(k+2) e^k

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série de potência
sumk=1^infty (k+4),x^k(k+1)(k+2),e^k
e queremos determinar o seu intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é série de potência e vamos usar o Teste da razão para encontrar o raio R e depois analisar os extremos x=pm R.

Passo 2

Aplicamos o Teste da razão às parcelas
ak = (k+4),x^k(k+1)(k+2),e^k
Calculamos
|ak+1ak| = (k+5),|x|^k+1(k+2)(k+3),e^k+1 (k+4),|x|^k(k+1)(k+2),e^k = (k+5)(k+2)(k+3)cdot(k+1)(k+2)(k+4)cdot|x|e

Passo 3

Simplificando a razão obtemos
|ak+1ak| = (k+5)(k+1)(k+3)(k+4);|x|e
Quando ktoinfty, temos (k+5)(k+1)(k+3)(k+4)to 1. Logo
limktoinfty|ak+1ak| = |x|e

Passo 4

Pelo Teste da razão, a série converge se
limktoinfty|ak+1ak| < 1 Longrightarrow |x|e<1 Longrightarrow |x|<e
Assim o raio de convergência é R=e e, por enquanto, o intervalo de convergência é -e < x < e.

Passo 5

Agora analisamos os extremos:
  1. Caso x = e, a série fica
sumk=1^infty (k+4),e^k(k+1)(k+2),e^k = sumk=1^infty k+4(k+1)(k+2)
Para k grande temos k+4(k+1)(k+2)simkk^2=1k, e a série de termos positivos comparável à série harmônica diverge. Portanto em x=e a série diverge.

Passo 6

Para x=-e, a série torna-se
sumk=1^infty (k+4)(-e)^k(k+1)(k+2),e^k = sumk=1^infty (-1)^k;k+4(k+1)(k+2)
É uma série alternante com termo geral
bk = k+4(k+1)(k+2)
Observamos que
limktoinftybk=0
e, de fato, bk é decrescente para k>=1. Pelos critérios da série alternante (Teste de Leibniz), esta série converge condicionalmente em x=-e.

Resposta

O intervalo de convergência é
boxed[-e,;e)

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