1. Para a série de potências sumk=0^infty(-1)^k x^2 k(2 k)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+ldots, faça o que se pede nos itens abaixo:
  2. Utilize o teorema da diferenciação de séries de potências para mostrar que a função f(x)=sumk=0^infty(-1)^k x^2 k(2 k)! satisfaz f^prime prime(x)=-f(x).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!
que é uma série de potências com raio de convergência infinito. Pelo teorema de diferenciação de séries de potências, podemos derivar termo a termo dentro do intervalo de convergência (que aqui é R).

Passo 2

Derivando termo a termo, obtemos
f'(x)=ddxl(sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!r) =sumk=1^infty(-1)^k2k,x^2k-1(2k)!
e, como 2k(2k)!=1(2k-1)!, isso simplifica para
f'(x)=sumk=1^infty(-1)^kx^2k-1(2k-1)!

Passo 3

Agora derivamos f'(x) novamente, também termo a termo:
f''(x)=sumk=1^infty(-1)^k(2k-1),x^2k-2(2k-1)! =sumk=1^infty(-1)^kx^2k-2(2k-2)!

Passo 4

Fazendo a mudança de índice j=k-1, quando k vai de 1 a infty, j vai de 0 a infty. Assim
f''(x) =sumj=0^infty(-1)^j+1x^2j(2j)! =-sumj=0^infty(-1)^jx^2j(2j)! =-f(x)

Resposta

f''(x)=-f(x)

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