- Para a série de potências
, faça o que se pede nos itens abaixo:
- Utilize o teorema da diferenciação de séries de potências para mostrar que a função
satisfaz
.
Passo 1
O enunciado define a função
que é uma série de potências com raio de convergência infinito. Pelo teorema de diferenciação de séries de potências, podemos derivar termo a termo dentro do intervalo de convergência (que aqui é
).
Passo 2
Derivando termo a termo, obtemos
e, como
, isso simplifica para
Passo 3
Agora derivamos
novamente, também termo a termo:
Passo 4
Fazendo a mudança de índice
, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim