Encontre o intervalo de convergência da série de potências
sumk=0^infty(-a)^k x^kraizk+b onde a>1 e b>0 são números arbitrários.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumk=0^infty(-a)^kx^kraizk+b
com parâmetros fixos a>1 e b>0. O conteúdo é convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, identifique o termo geral
uk(x)=(-a)^kx^kraizk+b
Calculamos
limktoinftyl|nuk(x)r|^1/k=limktoinftya,|x|(k+b)^1/(2k)=a,|x|,
pois (k+b)^1/(2k)to1. Pelo teste da raiz, converge se a|x|<1, ou seja
|x|<1a

Passo 3

Agora testamos o extremo x=1/a. Nesse caso o termo geral vira
tuk=(-a)^k(1/a)^kraizk+b=(-1)^kraizk+b
As parcelas 1/raizk+b são positivas, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz (série alternada), essa série converge (mas não absolutamente).

Passo 4

Para x=-1/a temos
tuk=(-a)^k(-1/a)^kraizk+b=1raizk+b,
que é uma série de termos positivos semelhantes a 1/k^1/2. Como 1/2<=1, essa é uma série \emph{p}-com p=1/2 e diverge.

Passo 5

Concluindo, o raio de convergência é R=1/a. A série converge para |x|<1/a e também em x=1/a, mas diverge em x=-1/a.

Resposta

O intervalo de convergência é
-1a<x<1acom convergência também em x=1a, êé
isto é, (-1/a,1/a].

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