Encontre o intervalo de convergência da série de potências
onde e são números arbitrários.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
com parâmetros fixos e . O conteúdo é convergência de séries de potências. Vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar os extremos.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, identifique o termo geral
Calculamos
pois (k+b)^1/(2k)to1. Pelo teste da raiz, converge se a|x|<1, ou seja
|x|<1a
Passo 3
Agora testamos o extremo x=1/a. Nesse caso o termo geral vira
tuk=(-a)^k(1/a)^kraizk+b=(-1)^kraizk+b
As parcelas 1/raizk+b são positivas, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz (série alternada), essa série converge (mas não absolutamente).
Passo 4
Para x=-1/a temos
tuk=(-a)^k(-1/a)^kraizk+b=1raizk+b,
que é uma série de termos positivos semelhantes a 1/k^1/2. Como 1/2<=1, essa é uma série \emph{p}-com p=1/2 e diverge.
Passo 5
Concluindo, o raio de convergência é R=1/a. A série converge para |x|<1/a e também em x=1/a, mas diverge em x=-1/a.