Resolva as equações diferenciais usando o método da variação dos parâmetros.
y^prime prime+4 y=x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y''+4y=x pelo método de variação dos parâmetros. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não-homogênea e vamos precisar da solução geral da homogênea, das funções fundamentais y1,y2 e do Wronskiano para encontrar os coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada y''+4y=0. A equação característica é r^2+4=0, com raízes r=±2i. Logo

Passo 3

yh=C1cos(2x)+C2sin(2x)

Passo 4

Para a variação dos parâmetros, escolhemos as funções fundamentais y1=cos(2x) e y2=sin(2x) e assumimos

Passo 5

yp=u1(x)y1+u2(x)y2

Passo 6

O Wronskiano de y1,y2 é

Passo 7

W=y1y2'-y1'y2=cos(2x)cdot2cos(2x)-(-2sin(2x))cdotsin(2x)=2

Passo 8

As fórmulas de variação dos parâmetros dão

Passo 9

u1'=-y2,f(x)W=-sin(2x),x2, u2'=y1,f(x)W=cos(2x),x2

Passo 10

Agora integramos para obter u1,u2. Primeiro

Passo 11

u1=-tfrac12integral xsin(2x),dx=-tfrac12l(-tfracxcos(2x)2+tfracsin(2x)4r)=xcos(2x)4-sin(2x)8

Passo 12

e em seguida

Passo 13

u2=tfrac12integral xcos(2x),dx=tfrac12l(tfracxsin(2x)2+tfraccos(2x)4r)=xsin(2x)4+cos(2x)8

Passo 14

O particular é

Passo 15

yp=u1cos(2x)+u2sin(2x)=x4(cos^2(2x)+sin^2(2x))=x4

Resposta

A solução geral é y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)+x4.

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