y^prime-12 y=2 cos t, y(0)=a

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial linear de primeira ordem
y' - tfrac12,y = 2cos t,
com condição inicial y(0)=a.
Para resolver vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = exp!l(integral -tfrac12,dtr) = e^-t/2
Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
e^-t/2y' - tfrac12,e^-t/2y = 2,e^-t/2cos t Longrightarrow ddtl(e^-t/2yr) = 2,e^-t/2cos t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(e^-t/2yr),dt = integral 2,e^-t/2cos t,dt
Para integral e^alpha tcos t,dt usamos a fórmula
integral e^alpha tcos t,dt = e^alpha talpha^2+1l(alphacos t + sin tr)
Aqui alpha=-tfrac12, então
integral 2,e^-t/2cos t,dt = 2;e^-t/2(tfrac-12)^2+1l(-tfrac12cos t + sin tr) = -tfrac45e^-t/2cos t + tfrac85e^-t/2sin t + C
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e^-t/2y = -tfrac45e^-t/2cos t + tfrac85e^-t/2sin t + C Longrightarrow y = -tfrac45cos t + tfrac85sin t + C,e^t/2

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=a:
y(0) = -tfrac45cos 0 + tfrac85sin 0 + C = -tfrac45 + C = a Longrightarrow C = a + tfrac45
Substituindo em y(t) obtemos a solução particular.

Resposta

boxedy(t) ;=;l(a+tfrac45r)e^,t/2 -tfrac45cos t +tfrac85sin t

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