Resolva as equaçoes diferenciais:
2 y^prime prime-y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes
2,y''-y'-y=0
O conteúdo aqui é o método da equação característica: assumir uma solução do tipo y=e^r x e achar os valores de r.

Passo 2

Assumindo y=e^r x, temos
y'=r,e^r x, y''=r^2,e^r x
Substituindo em 2,y''-y'-y=0 e dividindo por e^r xneq0, vem a equação característica
2r^2 - r -1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot2cdot(-1) = 1 + 8 = 9,
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r = 1 pm raiz94 = 1 pm 34
Isso dá as raízes
r1 = 1+34 = 1, r2 = 1-34 = -tfrac12

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r1=1 e r2=-tfrac12, obtemos
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x/2

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^-x/2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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