Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série
e testar a convergência nos extremos desse intervalo.
Informações dadas e observações iniciais:
- A série é uma série de potências em torno de
(termo ). - Há um problema formal: para
o denominador , o que torna o termo indefinido. Como a questão está bem formulada (vamos assumir isso), a interpretação natural é que a soma começa em . Portanto, a série correta que vamos estudar é
- O que se pede explicitamente:
- Determinar o raio/intervalo de convergência (onde a série converge).
- Testar a convergência nos dois extremos (ou seja, em
).
Agora a resolução verdadeira começa.
Passo 2
Reconhecer a forma padrão e definir os coeficientes. Escrevemos a série como uma série de potências centrada em
:
Aqui
é o coeficiente que multiplica
. Para determinar o raio de convergência
de uma série de potências usamos uma forma útil do teste da raiz (ou o critério de Cauchy-Hadamard):
Vou aplicar isso aos
acima.
Passo 3
Calcular
. Temos
então
Tomamos o limite quando
. É útil usar logaritmo para ver o comportamento:
Como
, segue que
portanto
Assim
.
Passo 4
Encontrar o raio
. Usando a fórmula do passo anterior,
Logo o raio de convergência é
. Em termos do intervalo ao redor de
, a série converge (pelo menos) para todos os
tais que
isto é, para
. A convergência absoluta ocorre certamente para
(veremos a razão no próximo passo).
Passo 5
Verificar convergência absoluta no interior do intervalo. Considere a série de termos absolutos
Aplicando o teste da raiz (como no passo 3, agora com
presente),
Se
então o limite é menor que
e a série absoluta converge (teste da raiz). Portanto a série original converge absolutamente para todo
com
. Para
diverge (raio); restam só os extremos
a verificar.
Passo 6
Testar o extremo direito
. Substituindo
obtemos
logo a série vira
Esta é uma série alternada de termos
(positivos). Para aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada) precisamos que
seja decrescente e que
.
-
. -
e . Como temos , então é decrescente para .
Portanto, pela regra de Leibniz, a série em
converge. Agora verificar se converge absolutamente: a série de módulos é
que é uma série tipo p com
. Como
, essa p-série diverge. Logo a convergência em
é condicional (converge, mas não absolutamente).
Passo 7
Testar o extremo esquerdo
. Substituindo
obtemos
então o termo geral torna-se
Como
é ímpar,
. Portanto a série fica
Isso é (menos) uma série de termos positivos
. Como já disse no passo anterior,
diverge (p-série com
). Logo a série em
diverge (não há cancelamento alternado aqui: todos os termos são negativos com módulo que não é somável).
Passo 8
Resumo e conclusão sobre o intervalo e os extremos:
- Raio de convergência
. - Intervalo central onde converge absolutamente:
, ou seja . - Em
: converge condicionalmente (série alternada com termos que tendem a zero). - Em
: diverge (série comparável à p-série com ).
Força aí! Você sobreviveu ao teste de raio e aos extremos — é isso que costumam pedir na prova.