Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-2)^{n}}{\sqrt{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(x-2)^{n}}{\sqrt{n-1}}
e testar a convergência nos extremos desse intervalo.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A série é uma série de potências em torno de 2 (termo (x-2)^n).
  • Há um problema formal: para n=1 o denominador \sqrt{n-1}=\sqrt{0}=0, o que torna o termo n=1 indefinido. Como a questão está bem formulada (vamos assumir isso), a interpretação natural é que a soma começa em n=2. Portanto, a série correta que vamos estudar é
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(x-2)^{n}}{\sqrt{n-1}}.
  • O que se pede explicitamente:
    1. Determinar o raio/intervalo de convergência (onde a série converge).
    2. Testar a convergência nos dois extremos (ou seja, em x=2\pm R).
Agora a resolução verdadeira começa.

Passo 2

Reconhecer a forma padrão e definir os coeficientes. Escrevemos a série como uma série de potências centrada em 2:
\sum_{n=2}^{\infty} a_n (x-2)^n, \qquad\text{onde}\qquad a_n = (-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n-1}}.
Aqui a_n é o coeficiente que multiplica (x-2)^n. Para determinar o raio de convergência R de uma série de potências usamos uma forma útil do teste da raiz (ou o critério de Cauchy-Hadamard):
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Vou aplicar isso aos a_n acima.

Passo 3

Calcular \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}. Temos
|a_n|=\frac{1}{\sqrt{n-1}}=(n-1)^{-1/2},
então
|a_n|^{1/n}=(n-1)^{-1/(2n)}.
Tomamos o limite quando n\to\infty. É útil usar logaritmo para ver o comportamento:
\ln\big((n-1)^{-1/(2n)}\big)=-\frac{1}{2n}\ln(n-1).
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n-1)}{n}=0, segue que
\lim_{n\to\infty}\ln\big((n-1)^{-1/(2n)}\big)=0,
portanto
\lim_{n\to\infty}(n-1)^{-1/(2n)}=e^{0}=1.
Assim \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1.

Passo 4

Encontrar o raio R. Usando a fórmula do passo anterior,
R=\frac{1}{1}=1.
Logo o raio de convergência é 1. Em termos do intervalo ao redor de 2, a série converge (pelo menos) para todos os x tais que
|x-2|<1,
isto é, para x\in(1,3). A convergência absoluta ocorre certamente para |x-2|<1 (veremos a razão no próximo passo).

Passo 5

Verificar convergência absoluta no interior do intervalo. Considere a série de termos absolutos
\sum_{n=2}^\infty |a_n||x-2|^n = \sum_{n=2}^\infty \frac{|x-2|^n}{\sqrt{n-1}}.
Aplicando o teste da raiz (como no passo 3, agora com |x-2| presente),
\limsup_{n\to\infty}\Big(\frac{|x-2|^n}{\sqrt{n-1}}\Big)^{1/n} = |x-2|\cdot\limsup_{n\to\infty}(n-1)^{-1/(2n)} = |x-2|\cdot 1 = |x-2|.
Se |x-2|<1 então o limite é menor que 1 e a série absoluta converge (teste da raiz). Portanto a série original converge absolutamente para todo x com |x-2|<1. Para |x-2|>1 diverge (raio); restam só os extremos |x-2|=1 a verificar.

Passo 6

Testar o extremo direito x=3. Substituindo x=3 obtemos
(x-2)^n = 1^n = 1,
logo a série vira
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n-1}}.
Esta é uma série alternada de termos b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n-1}} (positivos). Para aplicar o critério de Leibniz (teste da série alternada) precisamos que b_n seja decrescente e que \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
  • \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n-1}} = 0.
  • b_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n}} e b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n-1}}. Como \sqrt{n}>\sqrt{n-1} temos b_{n+1}<b_n, então é decrescente para n\ge2.
Portanto, pela regra de Leibniz, a série em x=3 converge. Agora verificar se converge absolutamente: a série de módulos é
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n-1}},
que é uma série tipo p com p=\tfrac{1}{2}. Como p\le 1, essa p-série diverge. Logo a convergência em x=3 é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 7

Testar o extremo esquerdo x=1. Substituindo x=1 obtemos
(x-2)^n = (-1)^n,
então o termo geral torna-se
(-1)^{n-1}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n-1}} = (-1)^{2n-1}\frac{1}{\sqrt{n-1}}.
Como 2n-1 é ímpar, (-1)^{2n-1}=-1. Portanto a série fica
\sum_{n=2}^\infty -\frac{1}{\sqrt{n-1}} = -\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n-1}}.
Isso é (menos) uma série de termos positivos \dfrac{1}{\sqrt{n-1}}. Como já disse no passo anterior, \sum \dfrac{1}{\sqrt{n-1}} diverge (p-série com p=\tfrac{1}{2}). Logo a série em x=1 diverge (não há cancelamento alternado aqui: todos os termos são negativos com módulo que não é somável).

Passo 8

Resumo e conclusão sobre o intervalo e os extremos:
  • Raio de convergência R=1.
  • Intervalo central onde converge absolutamente: |x-2|<1, ou seja x\in(1,3).
  • Em x=3: converge condicionalmente (série alternada com termos \dfrac{1}{\sqrt{n-1}} que tendem a zero).
  • Em x=1: diverge (série comparável à p-série com p=\tfrac{1}{2}).
Força aí! Você sobreviveu ao teste de raio e aos extremos — é isso que costumam pedir na prova.

Resposta

(1,3]
x=1: diverge
x=3: converge condicionalmente (não absolutamente)

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