Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo: \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n \cdot 4^{n}}(x+5)^{2 n-1}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n \cdot 4^{n}}(x+5)^{2 n-1}
O que é pedido:
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os x tais que a série converge).
Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, em cada ponto de fronteira).
Informações dadas:
O termo geral é \dfrac{1}{2n\cdot4^{n}}(x+5)^{2n-1}.
A série é centrada em x=-5 (aparece x+5 nas potências).
Passo 2
Simplificar a expressão para enxergar a forma da série. Faço a substituição auxiliar
y = x+5,
para trabalhar com potências de y. O termo geral vira
\frac{1}{2n\cdot4^{n}}\,y^{2n-1}.
Agora fato útil: y^{2n-1} = y^{-1}\cdot y^{2n}. Usando isso,
Lembrando y=x+5, isso dá a condição de convergência
|x+5|<2.
Assim o raio de convergência é R=2 e o intervalo central é x\in(-7,-3). (Observação didática: o fator multiplicativo \tfrac{1}{2}y^{-1} não altera o raio; ele apenas afeta o comportamento pontual, mas a expansão em t determinou |y|<2.)
Passo 4
Interpretar o intervalo encontrado: em termos de x,
que também diverge (vai para -\infty). Conclusão: a série diverge em x=-7.
Passo 7
Resumo didático final (por que cada passo fez sentido):
A técnica principal foi escrever a série em termos de y=x+5 e observar que os termos formam, até um fator y^{-1}/2, a série \sum_{n}\dfrac{1}{n}t^{n} com t=\dfrac{y^{2}}{4}. Essa série tem raio de convergência 1, o que levou a |y|<2.
Nos extremos |y|=2 os termos não decaem rápido o bastante: transformam-se em constantes multiplicadas por 1/n, e a soma \sum 1/n diverge. Por isso ambos os extremos são excluídos.
Resposta
Intervalo de convergência: (-7,-3)
Convergência em x=-3: diverge.
Convergência em x=-7: diverge.