Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n \cdot 4^{n}}(x+5)^{2 n-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n \cdot 4^{n}}(x+5)^{2 n-1}
O que é pedido:
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os x tais que a série converge).
  • Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, em cada ponto de fronteira).
Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{1}{2n\cdot4^{n}}(x+5)^{2n-1}.
  • A série é centrada em x=-5 (aparece x+5 nas potências).

Passo 2

Simplificar a expressão para enxergar a forma da série. Faço a substituição auxiliar
y = x+5,
para trabalhar com potências de y. O termo geral vira
\frac{1}{2n\cdot4^{n}}\,y^{2n-1}.
Agora fato útil: y^{2n-1} = y^{-1}\cdot y^{2n}. Usando isso,
\frac{1}{2n\cdot4^{n}}\,y^{2n-1} = y^{-1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\left(\frac{y^{2}}{4}\right)^{n}.
Portanto a série original pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n\cdot4^{n}}\,y^{2n-1} = \frac{1}{2}\,y^{-1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{y^{2}}{4}\right)^{n}.

Passo 3

Determinar o raio de convergência analisando a série interna
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{y^{2}}{4}\right)^{n}.
Esta é a série de potências em t=\dfrac{y^{2}}{4} com termos \dfrac{1}{n}t^{n}. Conhecimento padrão: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}t^{n}
converge exatamente para |t|<1 (é a expansão de -\ln(1-t) para |t|<1). Portanto a condição de convergência é
\left|\frac{y^{2}}{4}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |y|^{2}<4 \quad\Longleftrightarrow\quad |y|<2.
Lembrando y=x+5, isso dá a condição de convergência
|x+5|<2.
Assim o raio de convergência é R=2 e o intervalo central é x\in(-7,-3). (Observação didática: o fator multiplicativo \tfrac{1}{2}y^{-1} não altera o raio; ele apenas afeta o comportamento pontual, mas a expansão em t determinou |y|<2.)

Passo 4

Interpretar o intervalo encontrado: em termos de x,
-2 < x+5 < 2 \quad\Longleftrightarrow\quad -7 < x < -3.
Portanto a série converge (absoluta) para todo x em (-7,-3). Agora falta testar os extremos x=-7 e x=-3.

Passo 5

Testar o extremo x=-3. Nesse ponto y=x+5=2. Substituindo y=2 no termo geral:
\frac{1}{2n\cdot4^{n}}\,2^{2n-1}.
Calcular 2^{2n-1}: temos 2^{2n-1}=2^{2n}/2=(4^{n})/2. Assim o termo geral torna-se
\frac{1}{2n\cdot4^{n}}\cdot\frac{4^{n}}{2}=\frac{1}{2n}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4n}.
A série quando x=-3 é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, logo \sum \dfrac{1}{4n} também diverge. Conclusão: a série diverge em x=-3.

Passo 6

Testar o extremo x=-7. Nesse ponto y=x+5=-2. Substituindo y=-2 no termo geral:
\frac{1}{2n\cdot4^{n}}\,(-2)^{2n-1}.
Calcular (-2)^{2n-1}: como 2n-1 é ímpar, (-2)^{2n-1} = -\,2^{2n-1} = -\frac{4^{n}}{2}. Portanto o termo geral fica
\frac{1}{2n\cdot4^{n}}\cdot\left(-\frac{4^{n}}{2}\right) = -\frac{1}{4n}.
Assim a série em x=-7 é
\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{4n} = -\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que também diverge (vai para -\infty). Conclusão: a série diverge em x=-7.

Passo 7

Resumo didático final (por que cada passo fez sentido):
  • A técnica principal foi escrever a série em termos de y=x+5 e observar que os termos formam, até um fator y^{-1}/2, a série \sum_{n}\dfrac{1}{n}t^{n} com t=\dfrac{y^{2}}{4}. Essa série tem raio de convergência 1, o que levou a |y|<2.
  • Nos extremos |y|=2 os termos não decaem rápido o bastante: transformam-se em constantes multiplicadas por 1/n, e a soma \sum 1/n diverge. Por isso ambos os extremos são excluídos.

Resposta

Intervalo de convergência: (-7,-3)
Convergência em x=-3: diverge.
Convergência em x=-7: diverge.

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