Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=0}^{\infty} 3^{n^{2}} x^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=0}^{\infty} 3^{n^{2}} x^{n^{2}},
e pede duas coisas:
  • Encontrar o intervalo de convergência (para x real).
  • Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, em x=\pm\frac{1}{3}).
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral da série (indexada por n) é u_n=3^{n^{2}}x^{n^{2}}=(3x)^{n^{2}}.
  • A série é uma soma sobre n=0,1,2,\dots, mas os expoentes de x são n^{2} (série lacunária).

Passo 2

Explicação didática do teste que vou usar (raiz de Cauchy / root test):
  • O teste da raiz diz que, para uma série de termos u_n, definir
L=\limsup_{n\to\infty} |u_n|^{1/n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Intuição simples: |u_n|^{1/n} mede “a taxa geométrica” dos termos. Se essa taxa é menor que 1 no limite, os termos decaem rápido o suficiente.
Exemplo rápido (para lembrar): para uma série geométrica \sum r^n, tem-se |r^n|^{1/n}=|r|. Se |r|<1 converge, se |r|\ge1 diverge — é exatamente o que o teste da raiz dá.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz à nossa série. Primeiro escrevo o termo e calculo a raiz n-ésima:
u_n=(3x)^{n^{2}}.
Calculo
|u_n|^{1/n}=|(3x)^{n^{2}}|^{1/n}=|3x|^{n}.
Agora avalio o comportamento de |3x|^{n} quando n\to\infty:
  • Se |3x|<1, então |3x|^{n}\to 0. Assim L=0<1 e a série converge absolutamente.
  • Se |3x|>1, então |3x|^{n}\to\infty. Assim L=\infty>1 e a série diverge.
  • Se |3x|=1, então |3x|^{n}=1 para todo n, logo L=1 e o teste é inconclusivo — é preciso analisar os extremos separadamente.

Passo 4

Traduzindo |3x|<1 em termos de x:
|3x|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{1}{3}.
Portanto o raio de convergência é R=\frac{1}{3} e a série converge absolutamente para x em
\left(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Agora faltam os extremos x=\pm \tfrac{1}{3}, que exigem análise direta, pois o teste da raiz deu L=1 aí.

Passo 5

Teste em x=\tfrac{1}{3}.
Substituindo,
u_n = 3^{n^{2}}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n^{2}} = \left(3\cdot\tfrac{1}{3}\right)^{n^{2}} = 1^{n^{2}} = 1.
A série fica \sum_{n=0}^{\infty} 1, que claramente diverge (os termos não tendem a zero e as somas parciais crescem sem limite). Uma condição necessária para convergência de uma série é u_n\to 0; aqui isso não ocorre, então diverge.

Passo 6

Teste em x=-\tfrac{1}{3}.
Substituindo,
u_n = 3^{n^{2}}\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{n^{2}} = (-1)^{n^{2}}\left(3\cdot\tfrac{1}{3}\right)^{n^{2}} = (-1)^{n^{2}}.
Observação sobre (-1)^{n^{2}}: se n é par então n^{2} é par e (-1)^{n^{2}}=1; se n é ímpar então n^{2} é ímpar e (-1)^{n^{2}}=-1. Logo a sequência dos termos alterna entre 1 e -1 e não tende a zero. Como condição necessária para convergência é u_n\to 0, conclui-se que a série também diverge em x=-\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Conclusão final: a série converge absolutamente para |x|<\tfrac{1}{3} e diverge para |x|\ge\tfrac{1}{3}. Em particular, ela diverge nos dois extremos x=\pm\tfrac{1}{3}.

Resposta

\left(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right)
Para x=\tfrac{1}{3}: diverge.
Para x=-\tfrac{1}{3}: diverge.

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