Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede duas coisas:
- Encontrar o intervalo de convergência (para
real). - Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, em
).
Informações relevantes dadas:
- O termo geral da série (indexada por
) é . - A série é uma soma sobre
, mas os expoentes de são (série lacunária).
Passo 2
Explicação didática do teste que vou usar (raiz de Cauchy / root test):
- O teste da raiz diz que, para uma série de termos
, definir
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo. - Intuição simples:
mede “a taxa geométrica” dos termos. Se essa taxa é menor que no limite, os termos decaem rápido o suficiente.
Exemplo rápido (para lembrar): para uma série geométrica
, tem-se
. Se
converge, se
diverge — é exatamente o que o teste da raiz dá.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz à nossa série. Primeiro escrevo o termo e calculo a raiz
-ésima:
Calculo
Agora avalio o comportamento de
quando
:
- Se
, então . Assim e a série converge absolutamente. - Se
, então . Assim e a série diverge. - Se
, então para todo , logo e o teste é inconclusivo — é preciso analisar os extremos separadamente.
Passo 4
Traduzindo
em termos de
:
Portanto o raio de convergência é
e a série converge absolutamente para
em
Agora faltam os extremos
, que exigem análise direta, pois o teste da raiz deu
aí.
Passo 5
Teste em
.
Substituindo,
Substituindo,
A série fica
, que claramente diverge (os termos não tendem a zero e as somas parciais crescem sem limite). Uma condição necessária para convergência de uma série é
; aqui isso não ocorre, então diverge.
Passo 6
Teste em
.
Substituindo,
Substituindo,
Observação sobre
: se
é par então
é par e
; se
é ímpar então
é ímpar e
. Logo a sequência dos termos alterna entre
e
e não tende a zero. Como condição necessária para convergência é
, conclui-se que a série também diverge em
.
Passo 7
Conclusão final: a série converge absolutamente para
e diverge para
. Em particular, ela diverge nos dois extremos
.
Resposta
Para
Para