Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{2 n}}{n \cdot 9^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{2n}}{n\cdot 9^{n}}
As perguntas são:
  • Determinar o intervalo (em x) de convergência da série.
  • Testar a convergência nos extremos desse intervalo.
Informações relevantes que tiramos do enunciado:
  • O termo geral depende de (x-1)^{2n}, logo só aparece potências pares de (x-1).
  • O denominador tem n e 9^{n}.
  • A série é de termos não-negativos para todo x real, pois (x-1)^{2n}\ge 0.

Passo 2

Estratégia matemática e mudança de variável (explicação didática).
É útil simplificar a aparência da série usando a variável
y=(x-1)^2.
Com isso a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{y}{9}\right)^{n}.
Observações sobre essa transformação:
  • Para todo x\in\mathbb{R} temos y\ge 0.
  • Esta é exatamente a série conhecida \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{t^{n}}{n} com t=\dfrac{y}{9}.
    Breve lembrete teórico sobre \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{t^{n}}{n}:
  • A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{t^{n}}{n} converge para -\ln(1-t) quando |t|<1 (obtido integrando a série geométrica termo a termo).
  • Ela diverge para t=1 (porque vira a série harmônica \sum 1/n), e converge condicionalmente para t=-1 (série alternada \sum (-1)^n/n que converge).

Passo 3

Determinar o intervalo de valores de x que transformam t=\dfrac{y}{9} em um número com |t|<1.
Usamos o teste da raiz (Root test) aplicado ao termo geral da série original. Para a série com termo geral
a_n(x)=\frac{(x-1)^{2n}}{n\cdot 9^{n}}
calculamos a n-ésima raiz:
\sqrt[n]{a_n(x)}=\sqrt[n]{\frac{(x-1)^{2n}}{n\cdot 9^{n}}} =\frac{(x-1)^2}{9}\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n}}.
Propriedade usada: \sqrt[n]{AB}=\sqrt[n]{A}\sqrt[n]{B}. Agora note que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1,
porque qualquer sequência positiva n^{1/n}\to 1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n(x)}=\frac{(x-1)^2}{9}.
O teste da raiz diz: a série converge se esse limite for <1, diverge se >1, e é inconclusivo se igual a 1. Assim a condição de convergência é
\frac{(x-1)^2}{9}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^2<9 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<3.
Portanto a região de convergência absoluta (e simples) é
|x-1|<3,
ou seja o intervalo aberto
-2<x<4.
Isto dá o raio de convergência R=3 centrado em x=1.

Passo 4

Testar o extremo x=4.
Para x=4 temos (x-1)=3, então (x-1)^{2n}=3^{2n}=9^{n}. O termo geral torna-se
a_n(4)=\frac{9^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\frac{1}{n}.
A série passa a ser \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}, que é a série harmônica conhecida por divergir. Logo a série diverge em x=4.

Passo 5

Testar o extremo x=-2.
Para x=-2 temos (x-1)=-3, e (x-1)^{2n}=(-3)^{2n}=9^{n} (mesmo valor que no caso anterior). Assim
a_n(-2)=\frac{9^{n}}{n\cdot 9^{n}}=\frac{1}{n},
e novamente a série é a harmônica \sum 1/n, que diverge. Logo a série diverge em x=-2.

Passo 6

Comentários finais e fechamento didático.
  • Dentro do intervalo |x-1|<3 a série converge absolutamente, porque os termos são não-negativos e a transformação para \sum \dfrac{1}{n}(y/9)^n com |y/9|<1 garante convergência.
  • Nos dois extremos x=-2 e x=4 a série reduz-se à série harmônica \sum 1/n, que diverge; portanto não há convergência nem condicional nesses pontos.
  • Em particular não existe ponto em que ocorra convergência condicional (todos os termos são \ge 0).

Resposta

Intervalo de convergência: -2<x<4 (equivalente a |x-1|<3).
Convergência em x=-2: diverge.
Convergência em x=4: diverge.

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