Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
Passo 1
O enunciado dá a série
As perguntas são:
- Determinar o intervalo (em
) de convergência da série. - Testar a convergência nos extremos desse intervalo.
Informações relevantes que tiramos do enunciado:
- O termo geral depende de
, logo só aparece potências pares de . - O denominador tem
e . - A série é de termos não-negativos para todo
real, pois .
Passo 2
Estratégia matemática e mudança de variável (explicação didática).
É útil simplificar a aparência da série usando a variável
É útil simplificar a aparência da série usando a variável
Com isso a série vira
Observações sobre essa transformação:
- Para todo
temos . - Esta é exatamente a série conhecida
com .
Breve lembrete teórico sobre: - A série
converge para quando (obtido integrando a série geométrica termo a termo). - Ela diverge para
(porque vira a série harmônica ), e converge condicionalmente para (série alternada que converge).
Passo 3
Determinar o intervalo de valores de
que transformam
em um número com
.
Usamos o teste da raiz (Root test) aplicado ao termo geral da série original. Para a série com termo geral
Usamos o teste da raiz (Root test) aplicado ao termo geral da série original. Para a série com termo geral
calculamos a
-ésima raiz:
Propriedade usada:
. Agora note que
porque qualquer sequência positiva
. Portanto
O teste da raiz diz: a série converge se esse limite for
, diverge se
, e é inconclusivo se igual a
. Assim a condição de convergência é
Portanto a região de convergência absoluta (e simples) é
ou seja o intervalo aberto
Isto dá o raio de convergência
centrado em
.
Passo 4
Testar o extremo
.
Para temos
, então
. O termo geral torna-se
Para
A série passa a ser
, que é a série harmônica conhecida por divergir. Logo a série diverge em
.
Passo 5
Testar o extremo
.
Para temos
, e
(mesmo valor que no caso anterior). Assim
Para
e novamente a série é a harmônica
, que diverge. Logo a série diverge em
.
Passo 6
Comentários finais e fechamento didático.
- Dentro do intervalo
a série converge absolutamente, porque os termos são não-negativos e a transformação para com garante convergência. - Nos dois extremos
e a série reduz-se à série harmônica , que diverge; portanto não há convergência nem condicional nesses pontos. - Em particular não existe ponto em que ocorra convergência condicional (todos os termos são
).
Resposta
Intervalo de convergência:
(equivalente a
).
Convergência em : diverge.
Convergência em : diverge.
Convergência em
Convergência em