Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}(x-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o intervalo (mais precisamente, o raio) de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}(x-1)^{n}.
  • Testar a convergência nos dois extremos desse intervalo (ou seja, nos pontos onde |x-1|= o raio).
Informações fornecidas (que vamos usar diretamente):
  • Os termos gerais da série são a_n(x-1)^n com
a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}.
  • A série é centrada em x=1 (pois os potências são em (x-1)^n).

Passo 2

Qual ferramenta usar para achar o raio de convergência? Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n uma forma direta e padrão é usar a fórmula
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
onde R é o raio de convergência e \sqrt[n]{|a_n|}=|a_n|^{1/n}. Explicando rápido e com calma: essa fórmula vem do teste da raiz aplicado ao termo geral a_n(x-c)^n. Se o limite superior das raízes |a_n|^{1/n} existe e é L, então a condição para convergir é |x-c|<1/L. Aqui c=1.
Portanto, vamos calcular
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n},
se esse limite existir. Depois invertimos para obter R.

Passo 3

Calcular \sqrt[n]{a_n}:
\sqrt[n]{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Há um limite clássico conhecido:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
(Justificativa curta: usar a definição e=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m.)
Logo
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=e.

Passo 4

Aplicando a fórmula do raio,
R=\frac{1}{e}.
Portanto a série converge absolutamente para todos os x tais que
\left|x-1\right|<\frac{1}{e}.
Agora precisamos testar os pontos extremos x=1\pm\frac{1}{e}.

Passo 5

Teste em x=1+\dfrac{1}{e}.
O termo geral da série nesse ponto é
b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}\left(\frac{1}{e}\right)^{n} =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}e^{-n}.
Para decidir se a série \sum b_n converge, a primeira checagem é a condição necessária para convergência: os termos b_n devem tender a zero. Vamos calcular \lim_{n\to\infty} b_n.
É mais fácil trabalhar com o logaritmo:
\ln b_n = n^{2}\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-n.
Usamos a expansão de série de Taylor para \ln(1+t) em t\to0:
\ln(1+t)=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}+O(t^{4}).
Tomando t=\dfrac{1}{n} obtemos, para grandes n,
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Multiplicando por n^{2}:
n^{2}\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=n-\frac{1}{2}+O\!\left(\frac{1}{n}\right).
Portanto
\ln b_n = \bigl(n-\tfrac{1}{2}+O(1/n)\bigr)-n = -\frac{1}{2}+O\!\left(\frac{1}{n}\right).
Ao fazer n\to\infty vemos que \ln b_n \to -\tfrac{1}{2}. Assim
\lim_{n\to\infty} b_n = e^{-1/2}\neq 0.
Como os termos não tendem a zero, a série em x=1+\dfrac{1}{e} diverge (teste da divergência).

Passo 6

Teste em x=1-\dfrac{1}{e}.
O termo geral nesse ponto é
c_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}\left(-\frac{1}{e}\right)^{n} =(-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}e^{-n}.
A magnitude |c_n| é exatamente igual a b_n do passo anterior, e já mostramos
\lim_{n\to\infty}|c_n|=\lim_{n\to\infty} b_n = e^{-1/2}\neq 0.
Portanto os termos c_n também não tendem a zero (apesar de alternarem de sinal). Pela mesma razão (teste da divergência), a série em x=1-\dfrac{1}{e} diverge.

Resposta

|x-1|<\dfrac{1}{e} \
Diverge em x=1+\dfrac{1}{e} \
Diverge em x=1-\dfrac{1}{e}

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