Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o intervalo (mais precisamente, o raio) de convergência da série
- Testar a convergência nos dois extremos desse intervalo (ou seja, nos pontos onde
o raio).
Informações fornecidas (que vamos usar diretamente):
- Os termos gerais da série são
com
- A série é centrada em
(pois os potências são em ).
Passo 2
Qual ferramenta usar para achar o raio de convergência? Para uma série de potências
uma forma direta e padrão é usar a fórmula
onde
é o raio de convergência e
. Explicando rápido e com calma: essa fórmula vem do teste da raiz aplicado ao termo geral
. Se o limite superior das raízes
existe e é
, então a condição para convergir é
. Aqui
.
Portanto, vamos calcular
se esse limite existir. Depois invertimos para obter
.
Passo 3
Calcular
:
Há um limite clássico conhecido:
(Justificativa curta: usar a definição
.)
Logo
Passo 4
Aplicando a fórmula do raio,
Portanto a série converge absolutamente para todos os
tais que
Agora precisamos testar os pontos extremos
.
Passo 5
Teste em
.
O termo geral da série nesse ponto é
Para decidir se a série
converge, a primeira checagem é a condição necessária para convergência: os termos
devem tender a zero. Vamos calcular
.
É mais fácil trabalhar com o logaritmo:
Usamos a expansão de série de Taylor para
em
:
Tomando
obtemos, para grandes
,
Multiplicando por
:
Portanto
Ao fazer
vemos que
. Assim
Como os termos não tendem a zero, a série em
diverge (teste da divergência).
Passo 6
Teste em
.
O termo geral nesse ponto é
A magnitude
é exatamente igual a
do passo anterior, e já mostramos
Portanto os termos
também não tendem a zero (apesar de alternarem de sinal). Pela mesma razão (teste da divergência), a série em
diverge.
Resposta
Diverge em
Diverge em