Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em
O que é pedido:
- Encontrar o intervalo (ou seja, o conjunto de
) em que essa série converge. - Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, nos pontos finais do intervalo de convergência).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Os expoentes de
são sempre (aparecem apenas potências pares). - A série é uma série de potências em
com índice (não em diretamente como potência , mas em ).
Passo 2
Vou achar o raio de convergência usando o teste da raiz (é um jeito direto e prático aqui). Primeiro escrevo o valor absoluto do termo geral:
O teste da raiz diz: calcule
Se
a série converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo. Calculo a raiz
-ésima:
Agora tomo o limite quando
. Observação útil: para qualquer sequência
vale
, porque
Portanto
. Logo
Passo 3
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente quando
Isto significa que o raio de convergência é
e o intervalo central (aberto) é
Ainda falta verificar os pontos extremos
e
, porque o teste da raiz deu
nesses pontos e aí o teste não decide.
Passo 4
Testo
. Substituo em
:
então a série em
fica
A série
é a série harmônica alternada conhecida (série de Leibniz). Aplico o teste de Leibniz (teste da série alternada):
- Os termos
são positivos, monótonos decrescentes para e .
Então a série alternadaconverge. Logo em a série converge.
Verifico agora convergência absoluta: a série dos valores absolutos é
que é (constante vezes) a série harmônica e diverge. Portanto em
a convergência é condicional (converge, mas não absolutamente).
Passo 5
Testo
. Substituo em
:
e o termo geral volta a ser exatamente o mesmo que para
:
Logo a análise é idêntica: a série converge por Leibniz e não converge absolutamente (a série dos módulos é
, divergente). Portanto em
também há convergência condicional.
Resposta
Converge condicionalmente em
e em
.