Encontre o intervalo de convergência e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-2)^{2 n}}{2 n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em 2
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(x-2)^{2n}}{2n}.
O que é pedido:
  • Encontrar o intervalo (ou seja, o conjunto de x) em que essa série converge.
  • Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, nos pontos finais do intervalo de convergência).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n(x)=(-1)^{n-1}\dfrac{(x-2)^{2n}}{2n}.
  • Os expoentes de x-2 são sempre 2n (aparecem apenas potências pares).
  • A série é uma série de potências em (x-2) com índice n (não em n diretamente como potência n, mas em 2n).

Passo 2

Vou achar o raio de convergência usando o teste da raiz (é um jeito direto e prático aqui). Primeiro escrevo o valor absoluto do termo geral:
|a_n(x)|=\frac{|x-2|^{2n}}{2n}.
O teste da raiz diz: calcule
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x)|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Calculo a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{|a_n(x)|}=\sqrt[n]{\frac{|x-2|^{2n}}{2n}}=|x-2|^{2}\,(2n)^{-1/n}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Observação útil: para qualquer sequência b_n=2n vale \lim_{n\to\infty}b_n^{1/n}=1, porque
\ln\big((2n)^{1/n}\big)=\frac{\ln(2n)}{n}\to 0.
Portanto \lim_{n\to\infty}(2n)^{-1/n}=1. Logo
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x)|}=|x-2|^{2}.

Passo 3

Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente quando
|x-2|^{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-2|<1.
Isto significa que o raio de convergência é R=1 e o intervalo central (aberto) é
(2-1,\;2+1)=(1,3).
Ainda falta verificar os pontos extremos x=1 e x=3, porque o teste da raiz deu L=1 nesses pontos e aí o teste não decide.

Passo 4

Testo x=1. Substituo em (x-2)^{2n}:
(1-2)^{2n}=(-1)^{2n}=1,
então a série em x=1 fica
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} é a série harmônica alternada conhecida (série de Leibniz). Aplico o teste de Leibniz (teste da série alternada):
  • Os termos b_n=\dfrac{1}{n} são positivos, monótonos decrescentes para n\ge1 e \lim_{n\to\infty}b_n=0.
    Então a série alternada \sum(-1)^{n-1}b_n converge. Logo em x=1 a série converge.
    Verifico agora convergência absoluta: a série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é (constante vezes) a série harmônica e diverge. Portanto em x=1 a convergência é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 5

Testo x=3. Substituo em (x-2)^{2n}:
(3-2)^{2n}=1^{2n}=1,
e o termo geral volta a ser exatamente o mesmo que para x=1:
(-1)^{n-1}\frac{1}{2n}.
Logo a análise é idêntica: a série converge por Leibniz e não converge absolutamente (a série dos módulos é \tfrac{1}{2}\sum 1/n, divergente). Portanto em x=3 também há convergência condicional.

Resposta

[1,3]
Converge condicionalmente em x=1 e em x=3.

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