Encontre os intervalos nos quais
é crescente e decrescente. Classifique os números críticos. O gráfico de
possui algum ponto de inflexão?
12)
12)
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre onde a função
é crescente ou decrescente, que classifiquemos seus números críticos e que verifiquemos se há pontos de inflexão. Para isso, vamos calcular
e
e estudar o sinal dessas derivadas.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira e segunda. Temos
cujo zeros são
e
. A derivada segunda é
Passo 3
Para determinar os intervalos de monotonicidade, analisamos o sinal de
nos intervalos formados pelos pontos críticos:
- Se
, então e , logo (decrescente). - Se
, então e , logo (crescente). - Se
, então e , logo (decrescente). - Se
, então e , logo (crescente).
Passo 4
Pelos testes de monotonicidade: em
a derivada muda de negativa para positiva, logo há mínimo local; em
muda de positiva para negativa, logo há máximo local; em
muda de negativa para positiva, logo há mínimo local.
Passo 5
Para pontos de inflexão, resolvemos
, ou seja
Como para
temos
(côncavo para cima), para
temos
(côncavo para baixo) e para
volta a ser
, existem pontos de inflexão em
e
.
Resposta
Nos intervalos
e
,
é decrescente; em
e
,
é crescente.
Os pontos críticos são
(mínimo local),
(máximo local),
(mínimo local).
Há pontos de inflexão em e
.
Os pontos críticos são
Há pontos de inflexão em