Encontre os intervalos nos quais f é crescente e decrescente. Classifique os números críticos. O gráfico de f possui algum ponto de inflexão?
12) f(x)=x^4-6 x^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre onde a função f(x)=x^4-6x^2 é crescente ou decrescente, que classifiquemos seus números críticos e que verifiquemos se há pontos de inflexão. Para isso, vamos calcular f' e f'' e estudar o sinal dessas derivadas.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e segunda. Temos
f'(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3),
cujo zeros são x=0 e x=pmraiz3. A derivada segunda é
f''(x)=12x^2-12

Passo 3

Para determinar os intervalos de monotonicidade, analisamos o sinal de f' nos intervalos formados pelos pontos críticos:
  • Se x<-raiz3, então x<0 e x^2>3, logo f'(x)=4x(x^2-3)<0 (decrescente).
  • Se -raiz3<x<0, então x<0 e x^2<3, logo f'(x)>0 (crescente).
  • Se 0<x<raiz3, então x>0 e x^2<3, logo f'(x)<0 (decrescente).
  • Se x>raiz3, então x>0 e x^2>3, logo f'(x)>0 (crescente).

Passo 4

Pelos testes de monotonicidade: em x=-raiz3 a derivada muda de negativa para positiva, logo há mínimo local; em x=0 muda de positiva para negativa, logo há máximo local; em x=raiz3 muda de negativa para positiva, logo há mínimo local.

Passo 5

Para pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0, ou seja
12x^2-12=0implies x^2=1implies x=pm1
Como para x<-1 temos f''>0 (côncavo para cima), para -1<x<1 temos f''<0 (côncavo para baixo) e para x>1 volta a ser f''>0, existem pontos de inflexão em x=-1 e x=1.

Resposta

Nos intervalos (-infty,-raiz3) e (0,raiz3), f é decrescente; em (-raiz3,0) e (raiz3,infty), f é crescente.
Os pontos críticos são
;x=-raiz3 (mínimo local),
;x=0 (máximo local),
;x=raiz3 (mínimo local).
Há pontos de inflexão em x=-1 e x=1.

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