A função f(x)=lx^2, 2, se x>1 se derivável em p=1 ? Justifique!

Passo 1

O enunciado define uma função por partes:
f(x)= x^2,&se x<=1, 2,&se x>1
Queremos saber se f é derivável em p=1. Para isso é preciso verificar primeiro a continuidade em x=1 e depois checar as derivadas laterais.

Passo 2

Calculamos o valor e os limites em x=1:
f(1)=1^2=1
Limite pela esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1
Limite pela direita:
limxto1^+f(x)=2
Como limxto1^-f(x)=1neq2=limxto1^+f(x), o limite limxto1f(x) não existe (ou, no mínimo, não coincide com f(1)), de modo que f não é contínua em x=1.

Passo 3

Derivabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto. Como f falha em ser contínua em x=1, não há como f ser derivável ali.

Resposta

Não, f não é derivável em p=1, pois não é contínua nesse ponto.

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