Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado.
7) f(x)=x-3 ln (x) [1,4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos de f(x)=x-3ln(x) no intervalo fechado [1,4]. O método é o de cálculo em intervalo fechado:
1. Encontrar os pontos críticos, isto é, onde f'(x)=0 ou f' não existe.
2. Avaliar f nesses pontos críticos e nos extremos do intervalo.
3. Comparar os valores obtidos para decidir máximo e mínimo absolutos.

Passo 2

Calcular a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x-3ln(x)r) =1-3x
Igualando a zero para achar pontos críticos:
1-3x=0 Longrightarrow x=3
Como 3in[1,4], esse é o único ponto crítico relevante.

Passo 3

Avaliar f nos pontos x=1, x=3 e x=4:
f(1)=1-3ln(1)=1-3cdot0=1,
f(3)=3-3ln(3)=3-3ln(3),
f(4)=4-3ln(4)=4-3ln(4)
Numericamente,
ln(3)approx1,0986 Rightarrow f(3)approx3-3cdot1,0986approx-0,2958,
ln(4)approx1,3863 Rightarrow f(4)approx4-3cdot1,3863approx-0,1589.

Passo 4

Comparando os valores:
  • f(1)=1 é o maior entre 1, -0,2958 e -0,1589.
  • f(3)approx-0,2958 é o menor entre eles.

Resposta

O valor máximo absoluto de f em [1,4] é
f(1)=1,
e o valor mínimo absoluto é
f(3)=3-3ln(3)

Exercícios relacionados