Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente. Encontre os valores de máximo e mínimo local de
. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
e determinar:
- Os intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade).
- Os pontos de máximo e mínimo local.
- Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para isso vamos usar análise da primeira derivada para monotonicidade e da segunda derivada para concavidade.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos:
Igualando a zero para encontrar candidatos a extremos locais:
Esses são os pontos a testar o sinal de
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
:
- Para
, temos logo . - Para
, temos logo . - Para
, temos logo .
Portantoé crescente em , decrescente em e crescente em .
Passo 4
Como
muda de positivo para negativo em
, ali há um máximo local. O valor é
Como
muda de negativo para positivo em
, ali há um mínimo local. O valor é
Passo 5
Agora a segunda derivada para concavidade:
Igualando a zero:
Testamos o sinal de
: para
,
(côncavo para baixo); para
,
(côncavo para cima). Em
muda a concavidade, logo é ponto de inflexão.
Resposta
Crescente em
e em
.
Decrescente em .
Máximo local em .
Mínimo local em .
Côncavo para baixo em .
Côncavo para cima em .
Ponto de inflexão em .
Decrescente em
Máximo local em
Mínimo local em
Côncavo para baixo em
Côncavo para cima em
Ponto de inflexão em