Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente. Encontre os valores de máximo e mínimo local de f. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f(x)=x^{3}-12 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x)=x^{3}-12x+1
e determinar:
  1. Os intervalos de crescimento e decrescimento (monotonicidade).
  2. Os pontos de máximo e mínimo local.
  3. Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
    Para isso vamos usar análise da primeira derivada para monotonicidade e da segunda derivada para concavidade.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^3 - 12x + 1\bigr)=3x^2 - 12.
Igualando a zero para encontrar candidatos a extremos locais:
3x^2 - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -2,\;2.
Esses são os pontos a testar o sinal de f'.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x)=3x^2-12:
  • Para x<-2, temos x^2>4 logo 3x^2-12>0.
  • Para -2<x<2, temos x^2<4 logo 3x^2-12<0.
  • Para x>2, temos x^2>4 logo 3x^2-12>0.
    Portanto f é crescente em (-\infty,-2), decrescente em (-2,2) e crescente em (2,\infty).

Passo 4

Como f' muda de positivo para negativo em x=-2, ali há um máximo local. O valor é
f(-2)=(-2)^3 - 12(-2) + 1 = -8 +24 +1 = 17.
Como f' muda de negativo para positivo em x=2, ali há um mínimo local. O valor é
f(2)=2^3 - 12\cdot2 + 1 = 8 -24 +1 = -15.

Passo 5

Agora a segunda derivada para concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}(3x^2 - 12)=6x.
Igualando a zero:
6x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Testamos o sinal de f'': para x<0, f''(x)<0 (côncavo para baixo); para x>0, f''(x)>0 (côncavo para cima). Em x=0 muda a concavidade, logo é ponto de inflexão.

Resposta

Crescente em (-\infty,-2) e em (2,\infty).
Decrescente em (-2,2).
Máximo local em \bigl(-2,\,17\bigr).
Mínimo local em \bigl(2,\,-15\bigr).
Côncavo para baixo em (-\infty,0).
Côncavo para cima em (0,\infty).
Ponto de inflexão em \bigl(0,\,1\bigr).

Exercícios relacionados