Encontre os números críticos da função
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números críticos da função
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}.
O conteúdo necessário é cálculo de derivada (regra do quociente) e solução de f'(x)=0.

Passo 2

Observamos que o denominador x^{2}+x+1 tem discriminante
\Delta = 1 - 4 = -3 < 0,
logo nunca se anula em \mathbb{R}. Assim, f é diferenciável em todo \mathbb{R} e não há pontos onde f' deixe de existir; restam apenas as soluções de f'(x)=0.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{(x^2+x+1)'\,(x+1)-(x^2+x+1)\,(x+1)'}{(x^2+x+1)^2} =\frac{1\cdot(x^2+x+1)-(x+1)\cdot(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}.

Passo 4

Calculamos o numerador:
(x^2+x+1)-(x+1)(2x+1) =x^2+x+1-(2x^2+3x+1) =-x^2-2x =-x(x+2).
Logo,
f'(x)=\frac{-x(x+2)}{(x^2+x+1)^2}.
Para anular f'(x), basta resolver -x(x+2)=0, que dá
x=0\quad\text{ou}\quad x=-2.

Resposta

Os números críticos são x=-2 e x=0.

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