Encontre a transformada de Laplace da função dada:
(10 pontos) f(t)=\int_{0}^{t}(t-k) e^{3 k} d k.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=\int_{0}^{t}(t-k)\,e^{3k}\,dk.
O conteúdo que vamos usar é o teorema da convolução para transformadas de Laplace.

Passo 2

Reconhecemos que
f(t)=\int_{0}^{t}g(t-k)\,h(k)\,dk
com
g(t)=t \quad\text{e}\quad h(t)=e^{3t}.
Isto é, f=g*h (convolução de g e h).

Passo 3

Vamos lembrar as transformadas de Laplace básicas:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}, \quad \Re(s)>0,
\mathcal{L}\{e^{3t}\}(s)=\frac{1}{s-3}, \quad \Re(s)>3.

Passo 4

Pelo teorema da convolução,
\mathcal{L}\{g*h\}(s) =\mathcal{L}\{g\}(s)\;\mathcal{L}\{h\}(s).
Logo,
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{1}{s^{2}}\;\frac{1}{s-3} =\frac{1}{s^{2}\,(s-3)},
com região de convergência \Re(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1}{s^{2}\,(s-3)}, \quad \Re(s)>3.

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