Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente. Encontre os valores de máximo e mínimo local de
. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos
- os intervalos em que
é crescente ou decrescente e seus extremos locais; - os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas e análise de sinal da primeira e da segunda derivada.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
usando a regra do produto:
Passo 3
Para achar monotonicidade e extremos, estudamos o sinal de
Como
para todo
, a única raiz é
Logo,
- Se , então
e
:
é decrescente em
.
- Se , então
e
:
é crescente em
.
Em ocorre troca de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local.
O valor desse mínimo é
- Se
- Se
Em
O valor desse mínimo é
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada para concavidade:
Para
temos
, ou seja
.
- Se , então
e
: concavidade para baixo em
.
- Se , então
e
: concavidade para cima em
.
Em ocorre troca de concavidade, portanto ponto de inflexão.
O ponto de inflexão é com
- Se
- Se
Em
O ponto de inflexão é
Resposta
A função
é
- decrescente em e crescente em
;
- possui um mínimo local em com valor
e não há máximo local;
- é côncava para baixo em e côncava para cima em
;
- tem ponto de inflexão em , em que
.
- decrescente em
- possui um mínimo local em
- é côncava para baixo em
- tem ponto de inflexão em