Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente. Encontre os valores de máximo e mínimo local de f. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f(x)=x e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x e^{x}
determinarmos
  1. os intervalos em que f é crescente ou decrescente e seus extremos locais;
  2. os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
    O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas e análise de sinal da primeira e da segunda derivada.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x) usando a regra do produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\,e^{x}+x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) =e^{x}+x\,e^{x} =e^{x}(1+x).

Passo 3

Para achar monotonicidade e extremos, estudamos o sinal de
f'(x)=e^{x}(1+x).
Como e^{x}>0 para todo x, a única raiz é
1+x=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Logo,
- Se x<-1, então 1+x<0 e f'(x)<0: f é decrescente em (-\infty,-1).
- Se x>-1, então 1+x>0 e f'(x)>0: f é crescente em (-1,\infty).
Em x=-1 ocorre troca de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local.
O valor desse mínimo é
f(-1) = -1\cdot e^{-1} = -e^{-1}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada para concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(1+x)\bigr) =e^{x}(1+x)+e^{x}\cdot1 =e^{x}(x+2).
Para f''(x)=0 temos x+2=0, ou seja x=-2.
- Se x<-2, então x+2<0 e f''(x)<0: concavidade para baixo em (-\infty,-2).
- Se x>-2, então x+2>0 e f''(x)>0: concavidade para cima em (-2,\infty).
Em x=-2 ocorre troca de concavidade, portanto ponto de inflexão.
O ponto de inflexão é \bigl(-2,f(-2)\bigr) com
f(-2) = -2\,e^{-2}.

Resposta

A função f(x)=x e^{x} é
- decrescente em (-\infty,-1) e crescente em (-1,\infty);
- possui um mínimo local em x=-1 com valor f(-1)=-e^{-1} e não há máximo local;
- é côncava para baixo em (-\infty,-2) e côncava para cima em (-2,\infty);
- tem ponto de inflexão em x=-2, em que f(-2)=-2e^{-2}.

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