Encontre: os intervalos nos quais
é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas
de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
Passo 1
Vamos analisar a função f(x)=e{2x}-e{x} para achar monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e extremos relativos. O conteúdo envolve derivada primeira para crescimento/decrescimento e derivada segunda para concavidade/pontos de inflexão.
Passo 2
Calcular a derivada primeira. Temos
Para achar pontos críticos, resolvemos f’(x)=0.
Passo 3
Resolver f’(x)=0. Como e^{x}>0 sempre, basta 2e^{x}-1=0, ou seja
Passo 4
Determinar monotonicidade. Testamos o sinal de f’(x)=e{x}(2e{x}-1):
- Se x< -\ln2 então e^{x}<1/2 e 2e^{x}-1<0, logo f’(x)<0 (decrescente).
- Se x> -\ln2 então e^{x}>1/2 e 2e^{x}-1>0, logo f’(x)>0 (crescente).
Passo 5
Calcular a derivada segunda. Temos
Para pontos de inflexão, resolvemos f’’(x)=0.
Passo 6
Determinar concavidade e ponto de inflexão. De f’’(x)=e{x}(4e{x}-1):
- f’’(x)<0 quando 4e^{x}-1<0, isto é x< -\ln4 (concava para baixo).
- f’’(x)>0 quando x> -\ln4 (concava para cima).
Logo há ponto de inflexão em x=-\ln4= -2\ln2. A coordenada y é
Passo 7
Analisar extremos relativos. O único ponto crítico é x=-\ln2. Como f’ muda de negativa para positiva ali, trata-se de um mínimo relativo. A ordenada é
Resposta
f é decrescente em (-\infty,-\ln2) e crescente em (-\ln2,\infty). f é côncava para baixo em (-\infty,-2\ln2) e côncava para cima em (-2\ln2,\infty). Ponto de inflexão em ( -2\ln2, -3/16 ). Mínimo relativo em ( -\ln2, -1/4 ).