Encontre: os intervalos nos quais f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, as coordenadas x de todos os pontos de inflexão e seus extremos relativos.
f(x)=e^2 x-e^x

Passo 1

Vamos analisar a função f(x)=e{2x}-e{x} para achar monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e extremos relativos. O conteúdo envolve derivada primeira para crescimento/decrescimento e derivada segunda para concavidade/pontos de inflexão.

Passo 2

Calcular a derivada primeira. Temos
f'(x)=ddxl(e^2x-e^xr)=2e^2x-e^x=e^xl(2e^x-1r)
Para achar pontos críticos, resolvemos f’(x)=0.

Passo 3

Resolver f’(x)=0. Como e^{x}>0 sempre, basta 2e^{x}-1=0, ou seja
e^x=tfrac12Rightarrow x=-ln2

Passo 4

Determinar monotonicidade. Testamos o sinal de f’(x)=e{x}(2e{x}-1):
  • Se x< -\ln2 então e^{x}<1/2 e 2e^{x}-1<0, logo f’(x)<0 (decrescente).
  • Se x> -\ln2 então e^{x}>1/2 e 2e^{x}-1>0, logo f’(x)>0 (crescente).

Passo 5

Calcular a derivada segunda. Temos
f''(x)=ddx(2e^2x-e^x)=4e^2x-e^x=e^xl(4e^x-1r)
Para pontos de inflexão, resolvemos f’’(x)=0.

Passo 6

Determinar concavidade e ponto de inflexão. De f’’(x)=e{x}(4e{x}-1):
  • f’’(x)<0 quando 4e^{x}-1<0, isto é x< -\ln4 (concava para baixo).
  • f’’(x)>0 quando x> -\ln4 (concava para cima).
    Logo há ponto de inflexão em x=-\ln4= -2\ln2. A coordenada y é
f(-2ln2)=e^-4ln2-e^-2ln2=2^-4-2^-2=tfrac116-tfrac14=-tfrac316

Passo 7

Analisar extremos relativos. O único ponto crítico é x=-\ln2. Como f’ muda de negativa para positiva ali, trata-se de um mínimo relativo. A ordenada é
f(-ln2)=e^-2ln2-e^-ln2=2^-2-2^-1=tfrac14-tfrac12=-tfrac14

Resposta

f é decrescente em (-\infty,-\ln2) e crescente em (-\ln2,\infty). f é côncava para baixo em (-\infty,-2\ln2) e côncava para cima em (-2\ln2,\infty). Ponto de inflexão em ( -2\ln2, -3/16 ). Mínimo relativo em ( -\ln2, -1/4 ).

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