Nos exercícios 63 a 68 , identifique alpha valores máximos e mínimos e as raízes da função no intervalo [-2 pi, 2 pi].
y=cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede pra gente estudar a função y=cos2x no intervalo [-2pi,2pi] e identificar onde ela atinge valores máximos, mínimos e onde se anula (raízes). Vamos usar cálculo de derivada pra achar pontos críticos e a equação trigonométrica pra achar raízes.

Passo 2

Derivando: y'=ddx(cos2x)=-2sin2x. Pontos críticos surgem quando y'=0, ou seja sin2x=0. Isso acontece quando 2x=kpi, logo x=tfrackpi2. Para ficar dentro de [-2pi,2pi], o inteiro k vai de -4 a 4, gerando os valores -2pi,-tfrac3pi2,-pi,-tfracpi2,0,tfracpi2,pi,tfrac3pi2,2pi.

Passo 3

Para classificar cada ponto, basta avaliar y=cos2x: quando x=kpi (isto é x=-2pi,-pi,0,pi,2pi), temos cos2x=1, logo são máximos; quando x=tfrac(2k+1)pi2 (isto é x=-tfrac3pi2,-tfracpi2,tfracpi2,tfrac3pi2), temos cos2x=-1, logo são mínimos.

Passo 4

Para as raízes, resolvemos cos2x=0, ou seja 2x=tfracpi2+kpi e portanto x=tfracpi4+tfrackpi2. Filtrando pra ficar em [-2pi,2pi] ( k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3), obtemos as raízes -tfrac7pi4,-tfrac5pi4,-tfrac3pi4,-tfracpi4,tfracpi4,tfrac3pi4,tfrac5pi4,tfrac7pi4.

Resposta

Valores máximos em x= -2π, -π, 0, π, 2π (y=1); valores mínimos em x= -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2 (y=-1); raízes em x= -7π/4, -5π/4, -3π/4, -π/4, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

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