Encontre a inversa de
A=[ccc1 & 2 & -1 2 & 2 & 4 1 & 3 & -3]

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a inversa da matriz A = [ccc1 & 2 & -1 2 & 2 & 4 1 & 3 & -3] . Vamos usar o conteúdo de matemática linear, especificamente o cálculo da matriz inversa. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A tem inversa. Para isso, precisamos calcular o determinante de A . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = [ccc a & b & c d & e & f g & h & i ]
Aplicando os valores da nossa matriz:
a = 1, b = 2, c = -1, d = 2, e = 2, f = 4, g = 1, h = 3, i = -3
Calculando:
det(A) = 1 times (2 times (-3) - 4 times 3) - 2 times (2 times (-3) - 4 times 1) + (-1) times (2 times 3 - 2 times 1)
det(A) = 1 times (-6 - 12) - 2 times (-6 - 4) + (-1) times (6 - 2)
det(A) = 1 times (-18) - 2 times (-10) + (-1) times 4
det(A) = -18 + 20 - 4 = -2
Como o determinante é -2 (diferente de zero), a matriz A tem inversa.

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz adjunta de A . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Primeiro, vamos encontrar os cofatores de cada elemento de A .
O cofator Cij de um elemento aij é dado por:
Cij = (-1)^i+j times Mij
Onde Mij é o menor do elemento aij , ou seja, o determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Calculando os cofatores:
  • C11 = (-1)^1+1 times det(cc2 & 4 3 & -3) = 1 times (2 times (-3) - 4 times 3) = 1 times (-6 -12) = -18
  • C12 = (-1)^1+2 times det(cc2 & 4 1 & -3) = -1 times (2 times (-3) - 4 times 1) = -1 times (-6 -4) = 10
  • C13 = (-1)^1+3 times det(cc2 & 2 1 & 3) = 1 times (2 times 3 - 2 times 1) = 1 times (6 -2) = 4
  • C21 = (-1)^2+1 times det(cc2 & -1 3 & -3) = -1 times (2 times (-3) - (-1) times 3) = -1 times (-6 +3) = 3
  • C22 = (-1)^2+2 times det(cc1 & -1 1 & -3) = 1 times (1 times (-3) - (-1) times 1) = 1 times (-3 +1) = -2
  • C23 = (-1)^2+3 times det(cc1 & 2 1 & 3) = -1 times (1 times 3 - 2 times 1) = -1 times (3 -2) = -1
  • C31 = (-1)^3+1 times det(cc2 & -1 2 & 4) = 1 times (2 times 4 - (-1) times 2) = 1 times (8 +2) = 10
  • C32 = (-1)^3+2 times det(cc1 & -1 2 & 4) = -1 times (1 times 4 - (-1) times 2) = -1 times (4 +2) = -6
  • C33 = (-1)^3+3 times det(cc1 & 2 2 & 2) = 1 times (1 times 2 - 2 times 2) = 1 times (2 -4) = -2
Assim, a matriz dos cofatores é:
[ccc -18 & 10 & 4 3 & -2 & -1 10 & -6 & -2 ]
Agora, vamos transpor essa matriz para obter a matriz adjunta:
adj(A) = [ccc -18 & 3 & 10 10 & -2 & -6 4 & -1 & -2 ]

Passo 4

Finalmente, para encontrar a matriz inversa de A , usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) times adj(A)
Sabemos que det(A) = -2 e adj(A) = [ccc -18 & 3 & 10 10 & -2 & -6 4 & -1 & -2 ] .
Então:
A^-1 = 1-2 times [ccc -18 & 3 & 10 10 & -2 & -6 4 & -1 & -2 ] = [ccc 9 & -1.5 & -5 -5 & 1 & 3 -2 & 0.5 & 1 ]

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = [ccc 9 & -1.5 & -5 -5 & 1 & 3 -2 & 0.5 & 1 ]

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