Encontre a inversa de cada matriz A.
A=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 1 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
A = \begin{pmatrix}2 & -3 \\[6pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
Como estamos em dimensão 2\times2, usamos a fórmula geral: se
A = \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então, desde que \det(A)\neq0,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
onde \det(A)=ad - bc.]

Passo 2

Calcular o determinante de A. Aqui a=2, b=-3, c=1, d=3, então
\det(A) = (2)(3) - (-3)(1) = 6 + 3 = 9.
Como \det(A)=9\neq0, a matriz é invertível.

Passo 3

Formar a matriz adjunta de A trocando a com d e invertendo o sinal de b e de c:
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 3 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicar a fórmula da inversa multiplicando a adjunta por 1/\det(A):
A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix}3 & 3 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{9} & \tfrac{3}{9} \\[4pt] -\tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[4pt] -\tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9}\end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[4pt] -\tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9}\end{pmatrix}.]

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