Encontre a inversa de cada matriz A.
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é “inversão de matriz 2\times2”. Para resolver, precisamos calcular o determinante de A e usar a fórmula que expressa a inversa em termos da adjunta (matriz dos cofatores transposta).

Passo 2

Calcular o determinante de A. Pela fórmula para matrizes 2\times2,
\det(A) = 1\cdot4 \;-\;2\cdot3 = 4 - 6 = -2.
Como \det(A)\neq0, a matriz é invertível.

Passo 3

Obter a adjunta de A. Para 2\times2, trocamos os elementos da diagonal principal e trocamos o sinal dos off-diagonais. Assim,
\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2\\\\ -3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\text{adj}(A) = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2\\\\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.

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