Encontre a inversa de cada matriz A.
A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -3 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & -2 & 5\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz 3\times3. Para isso, vamos usar o método da matriz adjunta: primeiro calculamos o determinante de A, depois a matriz de cofatores, em seguida a adjunta (transposta da matriz de cofatores) e, por fim, dividimos pela determinante.

Passo 2

Calculemos \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) = (-1)\det\begin{pmatrix}1&0\\\ -2&5\end{pmatrix} - 2\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 4&5\end{pmatrix} +(-3)\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 4&-2\end{pmatrix}.
As menores são 5, 10 e -8, logo
\det(A) = (-1)\cdot5 \;-\;2\cdot10\;+\;(-3)\cdot(-8) = -5 -20 +24 = -1.

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores C, onde c_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Após avaliar cada menor, obtemos
C = \begin{pmatrix} 5 & -10 & -8\\\\ -4 & 7 & 6\\\\ 3 & -6 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 3\\\\ -10 & 7 & -6\\\\ -8 & 6 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, como \det(A)=-1,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = -1\cdot \begin{pmatrix} 5 & -4 & 3\\\\ -10 & 7 & -6\\\\ -8 & 6 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 4 & -3\\\\ 10 & -7 & 6\\\\ 8 & -6 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 4 & -3\\\\ 10 & -7 & 6\\\\ 8 & -6 & 5 \end{pmatrix}.

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