Reduzir a matriz A a uma forma escalonada B.
A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & 3 & -2 & 5 & 1 \\\\ 3 & -1 & 2 & 0 & 4 \\\\ 4 & -5 & 6 & -5 & 7\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 5 & 1\\\\ 3 & -1 & 2 & 0 & 4\\\\ 4 & -5 & 6 & -5 & 7 \end{pmatrix}
e pede para reduzi-la a uma forma escalonada usando a eliminação de Gauss, que consiste em aplicar operações elementares por linha para obter zeros abaixo de cada pivô.

Passo 2

Escolhemos o elemento a_{11}=2 como pivô e usamos operações do tipo L_i \leftarrow L_i - m\,L_1 para zerar as entradas abaixo dele:
L_2 \leftarrow L_2 - \frac{3}{2}\,L_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}3 & -1 & 2 & 0 & 4\end{pmatrix} - \frac{3}{2} \begin{pmatrix}2 & 3 & -2 & 5 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -\tfrac{11}{2} & 5 & -\tfrac{15}{2} & \tfrac{5}{2}\end{pmatrix},
L_3 \leftarrow L_3 - 2\,L_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}4 & -5 & 6 & -5 & 7\end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix}2 & 3 & -2 & 5 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -11 & 10 & -15 & 5\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora o pivô na segunda linha é a_{22}=-\tfrac{11}{2}. Usamos
L_3 \leftarrow L_3 - 2\,L_2
pois \frac{-11}{-11/2}=2. Como
2\,L_2 = \begin{pmatrix}0 & -11 & 10 & -15 & 5\end{pmatrix},
temos
L_3 - 2\,L_2 = \begin{pmatrix}0 & -11 & 10 & -15 & 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & -11 & 10 & -15 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Terminamos com zeros abaixo de cada pivô e obtemos a forma escalonada
B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 5 & 1\\\\ 0 & -\tfrac{11}{2} & 5 & -\tfrac{15}{2} & \tfrac{5}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -2 & 5 & 1\\\\ 0 & -\tfrac{11}{2} & 5 & -\tfrac{15}{2} & \tfrac{5}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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