Encontre a inversa de cada matriz A.
A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 2 & -3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de inversa de matriz 3\times3. Vamos usar o método da matriz de cofatores: calculamos \det(A), depois a matriz de cofatores, transpondo-a obtemos a adjunta, e por fim multiplicamos pela inversa do determinante.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Pela regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha:
\det(A) =2\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 2 & -3\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}0 & 1\\\ 5 & -3\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}0 & 2\\\ 5 & 2\end{vmatrix}.
Agora os menores:
\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 2 & -3\end{vmatrix} =2\cdot(-3)-1\cdot2=-6-2=-8,
\begin{vmatrix}0 & 1\\\ 5 & -3\end{vmatrix} =0\cdot(-3)-1\cdot5=-5,
\begin{vmatrix}0 & 2\\\ 5 & 2\end{vmatrix} =0\cdot2-2\cdot5= -10.
Logo
\det(A) =2\cdot(-8)-1\cdot(-5)-1\cdot(-10) =-16+5+10=-1.

Passo 3

Formar a matriz de cofatores C, cujo elemento C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor correspondente. Encontramos:
C=\begin{pmatrix} -8 & 5 & -10\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Transpondo C obtemos a adjunta de A:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} =\begin{pmatrix} -8 & 1 & 3\\\\ 5 & -1 & -2\\\\ -10 & 1 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como \det(A)=-1, a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =-1\cdot \begin{pmatrix} -8 & 1 & 3\\\\ 5 & -1 & -2\\\\ -10 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -3\\\\ -5 & 1 & 2\\\\ 10 & -1 & -4 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} =\begin{pmatrix} 8 & -1 & -3\\\\ -5 & 1 & 2\\\\ 10 & -1 & -4 \end{pmatrix}.

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