Reduzir a matriz A a uma forma escalonada B.
A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & -1 & 2 \\\\ 0 & 11 & -5 & 3 \\\\ 2 & -5 & 3 & 1 \\\\ 4 & 1 & 1 & 5\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\[6pt] 0 & 11 & -5 & 3 \\[6pt] 2 & -5 & 3 & 1 \\[6pt] 4 & 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}
e pede para reduzi-la a uma forma escalonada.
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss: usar pivôs para zerar entradas abaixo deles por operações elementares de linha.]

Passo 2

Como primeiro pivô usamos a_{11}=1. Queremos zerar as entradas abaixo na coluna 1, isto é, em R_3 e R_4. Aplicamos
R_{3}\leftarrow R_{3} - 2\,R_{1}, \quad R_{4}\leftarrow R_{4} - 4\,R_{1}.
Fazendo as contas, obtemos a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\[4pt] 0 & 11 & -5 & 3 \\[4pt] 0 & -11 & 5 & -3 \\[4pt] 0 & -11 & 5 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O segundo pivô é agora a_{22}=11. Vamos zerar abaixo dele na coluna 2, ou seja, nas linhas 3 e 4, com
R_{3}\leftarrow R_{3} + R_{2}, \quad R_{4}\leftarrow R_{4} + R_{2}.
Como -11 + 11 = 0, ambas as linhas 3 e 4 ficam totalmente zero. A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\[4pt] 0 & 11 & -5 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Não há mais entradas não nulas abaixo dos pivôs das colunas 1 e 2, então já temos a forma escalonada buscada: duas linhas de pivô não nulo seguidas de duas linhas nulas.

Resposta

B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\[6pt] 0 & 11 & -5 & 3 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

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