Sejam A, B e C matrizes da mesma ordem. Determine uma possível solução X nas seguintes equações matriciais, justificar
A \cdot X \cdot B=C.

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
A\,X\,B = C
em que A, B e C são matrizes da mesma ordem.
Para isolar X, vamos usar propriedades de matrizes invertíveis e a associatividade do produto matricial.

Passo 2

Suponha que A e B sejam invertíveis. Então existe A^{-1} tal que A^{-1}A = I. Multiplicando a equação original à esquerda por A^{-1} obtemos
A^{-1}(A\,X\,B) = A^{-1}C.
Pela associatividade, isso é
(A^{-1}A)\,X\,B = A^{-1}C \quad\Longrightarrow\quad I\,X\,B = A^{-1}C \quad\Longrightarrow\quad X\,B = A^{-1}C.

Passo 3

Do mesmo modo, como B é invertível, existe B^{-1} tal que B\,B^{-1}=I. Agora multiplicamos à direita por B^{-1}:
(X\,B)\,B^{-1} = (A^{-1}C)\,B^{-1}.
Pela associatividade,
X\,(B\,B^{-1}) = A^{-1}C\,B^{-1} \quad\Longrightarrow\quad X\,I = A^{-1}C\,B^{-1} \quad\Longrightarrow\quad X = A^{-1}C\,B^{-1}.

Resposta

X = A^{-1}\,C\,B^{-1}.

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