Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
E=[rrr4 & -2 & 1 7 & 3 & 0 2 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a inversa da matriz E :
E = 4 & -2 & 1 7 & 3 & 0 2 & 0 & 1
Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a parte que trata de matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz E e a matriz adjunta. Com esses elementos, podemos encontrar a matriz inversa usando a fórmula:
E^-1 = 1det(E) cdot adj(E)

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz E . O determinante é um número que nos diz se a matriz é invertível (ou seja, se a inversa existe). Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
Para uma matriz 3 times 3 , o determinante det(E) é calculado assim:
det(E) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
E = a & b & c d & e & f g & h & i = 4 & -2 & 1 7 & 3 & 0 2 & 0 & 1

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula do determinante:
det(E) = 4 cdot (3 cdot 1 - 0 cdot 0) - (-2) cdot (7 cdot 1 - 0 cdot 2) + 1 cdot (7 cdot 0 - 3 cdot 2)
Calculando cada parte:
det(E) = 4 cdot (3 - 0) - (-2) cdot (7 - 0) + 1 cdot (0 - 6)
det(E) = 4 cdot 3 + 2 cdot 7 + 1 cdot (-6)
det(E) = 12 + 14 - 6 = 20
Então, det(E) = 20 . Como o determinante é diferente de zero, a matriz E é invertível.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de E , que é a transposta da matriz dos cofatores de E .
Primeiro, precisamos encontrar os cofatores de cada elemento da matriz E . O cofator Cij de um elemento aij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de E :
E = 4 & -2 & 1 7 & 3 & 0 2 & 0 & 1
  • Cofator C11 :
M11 = 3 & 0 0 & 1 = (3)(1) - (0)(0) = 3
C11 = (-1)^1+1 cdot 3 = 1 cdot 3 = 3
  • Cofator C12 :
M12 = 7 & 0 2 & 1 = (7)(1) - (0)(2) = 7
C12 = (-1)^1+2 cdot 7 = -1 cdot 7 = -7
  • Cofator C13 :
M13 = 7 & 3 2 & 0 = (7)(0) - (3)(2) = -6
C13 = (-1)^1+3 cdot (-6) = 1 cdot (-6) = -6
  • Cofator C21 :
M21 = -2 & 1 0 & 1 = (-2)(1) - (1)(0) = -2
C21 = (-1)^2+1 cdot (-2) = -1 cdot (-2) = 2
  • Cofator C22 :
M22 = 4 & 1 2 & 1 = (4)(1) - (1)(2) = 2
C22 = (-1)^2+2 cdot 2 = 1 cdot 2 = 2
  • Cofator C23 :
M23 = 4 & -2 2 & 0 = (4)(0) - (-2)(2) = 4
C23 = (-1)^2+3 cdot 4 = -1 cdot 4 = -4
  • Cofator C31 :
M31 = -2 & 1 3 & 0 = (-2)(0) - (1)(3) = -3
C31 = (-1)^3+1 cdot (-3) = 1 cdot (-3) = -3
  • Cofator C32 :
M32 = 4 & 1 7 & 0 = (4)(0) - (1)(7) = -7
C32 = (-1)^3+2 cdot (-7) = -1 cdot (-7) = 7
  • Cofator C33 :
M33 = 4 & -2 7 & 3 = (4)(3) - (-2)(7) = 12 + 14 = 26
C33 = (-1)^3+3 cdot 26 = 1 cdot 26 = 26

Passo 5

Agora, organizamos todos os cofatores na matriz de cofatores:
Cof(E) = 3 & -7 & -6 2 & 2 & -4 -3 & 7 & 26
A próxima etapa é calcular a adjunta da matriz E , que é a transposta da matriz de cofatores:
adj(E) = C11 & C21 & C31 C12 & C22 & C32 C13 & C23 & C33 = 3 & 2 & -3 -7 & 2 & 7 -6 & -4 & 26

Passo 6

Finalmente, usamos a fórmula da matriz inversa:
E^-1 = 1det(E) cdot adj(E) = 120 cdot 3 & 2 & -3 -7 & 2 & 7 -6 & -4 & 26
Isso quer dizer que cada elemento da adjunta será dividido por 20:
E^-1 = 320 & 220 & -320 -720 & 220 & 720 -620 & -420 & 2620 = 0.15 & 0.10 & -0.15 -0.35 & 0.10 & 0.35 -0.30 & -0.20 & 1.30

Resposta

A inversa da matriz E é:
E^-1 = 0.15 & 0.10 & -0.15 -0.35 & 0.10 & 0.35 -0.30 & -0.20 & 1.30

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