Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
F=[rrr1 & -1 & 2 1 & 0 & 3 4 & 0 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz F . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a matriz inversa existe.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz F é invertível calculando o seu determinante. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
A matriz F é:
F = 1 & -1 & 2 1 & 0 & 3 4 & 0 & 2
O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado assim:
det(F) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
F = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando os valores da matriz F :
det(F) = 1(0 cdot 2 - 3 cdot 0) - (-1)(1 cdot 2 - 3 cdot 4) + 2(1 cdot 0 - 0 cdot 4)
det(F) = 1(0 - 0) - (-1)(2 - 12) + 2(0 - 0)
det(F) = 0 - (-1)(-10) + 0 = 0 - 10 + 0 = -10
Como o determinante é -10 neq 0, a matriz F é invertível.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de F . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de F .
Primeiro, calculamos os cofatores de cada elemento de F .
Vamos calcular cada cofator Cij :
C11 = det 0 & 3 0 & 2 = (0)(2) - (3)(0) = 0
C12 = -det 1 & 3 4 & 2 = -((1)(2) - (3)(4)) = -(2 - 12) = 10
C13 = det 1 & 0 4 & 0 = (1)(0) - (0)(4) = 0
C21 = -det -1 & 2 0 & 2 = -((-1)(2) - (2)(0)) = -(-2 - 0) = 2
C22 = det 1 & 2 4 & 2 = (1)(2) - (2)(4) = 2 - 8 = -6
C23 = -det 1 & -1 4 & 0 = -((1)(0) - (-1)(4)) = -(0 + 4) = -4
C31 = det -1 & 2 0 & 3 = (-1)(3) - (2)(0) = -3
C32 = -det 1 & 2 1 & 3 = -((1)(3) - (2)(1)) = -(3 - 2) = -1
C33 = det 1 & -1 1 & 0 = (1)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1
Agora, a matriz dos cofatores C é:
C = 0 & 10 & 0 2 & -6 & -4 -3 & -1 & 1
A adjunta adj(F) é a transposta de C :
adj(F) = C^T = 0 & 2 & -3 10 & -6 & -1 0 & -4 & 1

Passo 4

Finalmente, a inversa de F é dada por:
F^-1 = 1det(F) cdot adj(F)
Substituindo os valores que já calculamos:
F^-1 = 1-10 cdot 0 & 2 & -3 10 & -6 & -1 0 & -4 & 1
Multiplicando cada elemento por 1-10:
F^-1 = 0 & -210 & 310 -1010 & 610 & 110 0 & 410 & -110
Simplificando as frações:
F^-1 = 0 & -15 & 310 -1 & 35 & 110 0 & 25 & -110

Resposta

A inversa da matriz F é:
F^-1 = 0 & -15 & 310 -1 & 35 & 110 0 & 25 & -110

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