Encontre a inversa da matriz elementar dadas
[ccc1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz elementar
E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1
Sabemos que esse tipo de matriz corresponde à operação “somar -2 vezes a linha 3 na linha 2” e que sua inversa deve desfazer esse comando.

Passo 2

Em geral, uma matriz elementar do tipo “somar lambda vezes a linha j na linha i” é
I + lambda,Ei,j,
onde Ei,j tem 1 na posição (i,j) e zeros nos demais lugares. Sua inversa é
l(I + lambda,Ei,jr)^-1 ;=; I - lambda,Ei,j,
pois aplicar primeiro +lambda e depois -lambda anula a operação.

Passo 3

No nosso caso, i=2, j=3 e lambda=-2, então
E = I + (-2),E2,3
Logo
E^-1 = I - (-2),E2,3 = I + 2,E2,3,
que em forma de matriz é
1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

Passo 4

Podemos verificar que
E,E^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
confirmando que este é mesmo o inverso.

Resposta

E^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

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