Encontre a inversa da matriz elementar dadas
[lll1 & 0 & 0 0 & 1 & c 0 & 0 & 1], c neq 0

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz elementar
E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & c 0 & 0 & 1
com c neq 0. O conteúdo é identificar que essa matriz corresponde à operação de linha L2 L2 + c,L3, e que sua inversa será a matriz que desfaz essa operação.

Passo 2

Reconhecemos que E pode ser escrita como
E = I + c,E23,
onde E23 é a matriz que tem 1 na posição (2,3) e zeros nas demais posições. A operação associada é exatamente L2 L2 + c,L3.

Passo 3

Para inverter essa operação, basta aplicar L2 L2 - c,L3. Logo, a inversa de E é
E^-1 = I - c,E23 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -c 0 & 0 & 1
Para confirmar, verificamos que
E,E^-1 = l(I + c,E23r)l(I - c,E23r) = I - c^2,E23^2 = I,
pois E23^2 = 0.

Resposta

E^-1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -c 0 & 0 & 1

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