Encontre a inversa da matriz A resolvendo o sistema A X=I se:
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a inversa da matriz A resolvendo o sistema A X = I.
As informações dadas são:
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Quer-se a matriz X (que será A^{-1}) tal que A X = I, onde I é a matriz identidade 3\times3:
I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa resolver A X = I na prática (explicação didática curta e direta): a matriz X tem três colunas; cada coluna \mathbf{x}_j de X satisfaz o sistema linear
A\mathbf{x}_j=\mathbf{e}_j,
onde \mathbf{e}_j é a j-ésima coluna da identidade. Uma forma prática e sistemática de encontrar X é montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar eliminação por linhas (método de Gauss-Jordan) até obter [I\mid A^{-1}].
Breve lembrete sobre operações elementares por linha:
  • Permutar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i.
  • Somar múltiplo de uma linha a outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema e permitem reduzir a parte esquerda para a identidade, transformando a parte direita na inversa.
Vamos aplicar isso passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Montar a matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para simplificar a eliminação, troco R_1 com R_2 (traz um pivô 1 na primeira linha):
R_1 \leftrightarrow R_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Zerar os elementos abaixo do pivô da coluna 1. Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
  • Cálculo linha 2 esquerda: (2,0,1) - 2(1,1,0) = (0,-2,1).
  • Cálculo linha 2 direita: (1,0,0) - 2(0,1,0) = (1,-2,0).
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Transformar o pivô da segunda linha em 1. Divido R_2 por -2:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-2}R_2 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
(Observe: cada entrada da segunda linha foi dividida por -2.)]

Passo 6

Zerar os outros elementos da coluna 2 usando o pivô em R_2.
  1. Eliminar o 1 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
  • Esquerda R_1: (1,1,0) - (0,1,-\tfrac{1}{2}) = (1,0,\tfrac{1}{2}).
  • Direita R_1: (0,1,0) - (-\tfrac{1}{2},1,0) = (\tfrac{1}{2},0,0).
  1. Eliminar o -1 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
  • Esquerda R_3: (0,-1,1) + (0,1,-\tfrac{1}{2}) = (0,0,\tfrac{1}{2}).
  • Direita R_3: (0,0,1) + (-\tfrac{1}{2},1,0) = (-\tfrac{1}{2},1,1).
Após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Transformar o pivô da terceira linha em 1. Multiplico R_3 por 2:
R_3 \leftarrow 2R_3 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right].]

Passo 8

Zerar os elementos acima do pivô da coluna 3.
  1. Eliminar \tfrac{1}{2} em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{2}R_3.
  • Direita R_1: \left(\tfrac{1}{2},0,0\right) - \tfrac{1}{2}\left(-1,2,2\right) = \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2},\, 0 - 1,\, 0 - 1\right) = (1,-1,-1).
  1. Eliminar -\tfrac{1}{2} em R_2: R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3.
  • Direita R_2: \left(-\tfrac{1}{2},1,0\right) + \tfrac{1}{2}\left(-1,2,2\right) = \left(-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{2},\,1+1,\,0+1\right) = (-1,2,1).
Após essas eliminações, a parte esquerda já é a identidade e a parte direita é a inversa:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right].]

Passo 9

Interpretando o resultado: a matriz à direita da barra é A^{-1}. Então
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
(Como checagem mental rápida: multiplicar A por essa matriz dá I; isso confirma que a inversa está correta.)]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}]

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