Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
[rrrr-1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1]

Passo 1

Estamos encontrando a inversa da matriz
A= -1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1
usando eliminação de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada l[Amid I4r] e transformar o bloco esquerdo em I4, aplicando as mesmas operações no lado direito para obter A^-1.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, em seguida, começamos o pivô na posição (1,1).
[rrrr|rrrr -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 5 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Dividimos a linha 1 por -1 para fazer o pivô igual a 1:
R1 tfrac1-1R1;Longrightarrow; [rrrr|rrrr 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 5 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô (coluna 1):
  • R2 R2-5R1
  • R3 R3-2R1
  • R4 R4-3R1
[rrrr|rrrr 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & -5 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora o pivô na posição (2,2) vale 4. Dividimos a linha 2 por 4 e eliminamos abaixo:
R2 tfrac14R2 ;Longrightarrow; 0&1&-tfrac54&tfrac14midtfrac54&tfrac14&0&0
Em seguida
R4 R4-2R2 ;Longrightarrow; 0&0&-tfrac12&tfrac12midtfrac12&-tfrac12&-tfrac12&1
ficando
[rrrr|rrrr 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac54 & tfrac14 & tfrac54 & tfrac14 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 & -tfrac12 & 1 ]

Passo 5

Pivô na posição (3,3) vale -1. Dividimos a linha 3 por -1 e eliminamos nas outras linhas onde haja coluna 3 não nula:
R3 -1cdot R3;Longrightarrow;(0;0;1;0mid -2;0;-1;0)
Eliminações:
  • R1 R1-R3
  • R2 R2+tfrac54 R3
  • R4 R4+tfrac12 R3
    resultam em
[rrrr|rrrr 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac14 & -1 & tfrac12 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac12 & -tfrac12 & -tfrac12 & -tfrac12 & 1 ]

Passo 6

Finalmente, pivô na posição (4,4) vale tfrac12. Dividimos a linha 4 por tfrac12 e eliminamos o único termo não nulo acima em coluna 4 (linha 2):
R4 tfrac11/2R4;=;R4cdot2 ;Longrightarrow;(0;0;0;1mid -1;-1;-1;2)
R2 R2-tfrac14R4 ;Longrightarrow;(0;1;0;0mid -1;tfrac12;-1;-tfrac12)
Agora o bloco esquerdo é I4 e o direito é A^-1.

Resposta

A^-1= 1 & 0 & 1 & 0 -1 & tfrac12 & -1 & -tfrac12 -2 & 0 & -1 & 0 -1 & -1 & -1 & 2

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