Questão 27. Suponha que A e B são matrizes inversíveis e I é a matriz identidade. Considere a equação matricial A X+B=A.
(a) Determine a matriz que satisfaz a equação.
(b) Se A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -4 & -1 \\\\ -2 & 10 & 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}0 & -3 & 1 \\\\ 2 & 5 & -1 \\\\ -2 & -1 & 0\end{array}\right], encontre a matriz X que satisfaz a equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial A X + B = A, onde A e B são matrizes inversíveis e I é a matriz identidade. As perguntas são:
  • (a) Determinar, de forma geral, a matriz X que satisfaz a equação.
  • (b) Para
A=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & -4 & -1 \\[4pt] -2 & 10 & 2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & -3 & 1 \\[4pt] 2 & 5 & -1 \\[4pt] -2 & -1 & 0\end{pmatrix},
encontrar a matriz X que satisfaz A X + B = A.
Informações relevantes dadas:
  • A é invertível (logo existe A^{-1} tal que A^{-1}A=I).
  • A equação a resolver é linear em X: A X + B = A.]

Passo 2

Resolver a equação simbolicamente. Começando de
A X + B = A,
subtraio B de ambos os lados:
A X = A - B.
Agora, como A é invertível, posso multiplicar à esquerda por A^{-1}. Explico: multiplicar por A^{-1} “cancela” A porque A^{-1}A=I, e I X = X. Assim,
X = A^{-1}(A - B).
Uma forma alternativa, usando A^{-1}A=I, é distribuir A^{-1}:
X = A^{-1}A - A^{-1}B = I - A^{-1}B.
Ambas as expressões são equivalentes e dão a solução única para X (por causa de A invertível). Observação didática rápida: a inversa A^{-1} é a matriz que satisfaz A^{-1}A=AA^{-1}=I; só é permitida multiplicá-la quando A for invertível.

Passo 3

Agora calculo X para as matrizes numéricas dadas. Vou usar a forma X = A^{-1}(A-B). Primeiro calculo A-B.
Subtração termo a termo:
A-B=\begin{pmatrix} -1-0 & 2-(-3) & 1-1 \\[4pt] 0-2 & -4-5 & -1-(-1) \\[4pt] -2-(-2) & 10-(-1) & 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 0 \\[4pt] -2 & -9 & 0 \\[4pt] 0 & 11 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Preciso de A^{-1}. Vou calcular A^{-1} pela fórmula com a adjunta: A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A). Primeiro o determinante de A.
Calculo de \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) = (-1)\det\begin{pmatrix}-4 & -1 \\[4pt] 10 & 2\end{pmatrix} - 2\det\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix} + 1\det\begin{pmatrix}0 & -4 \\[4pt] -2 & 10\end{pmatrix}.
Avalio os menores:
\det\begin{pmatrix}-4 & -1 \\[4pt] 10 & 2\end{pmatrix} = (-4)\cdot2 - (-1)\cdot10 = -8 +10 = 2,
\det\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix} = 0\cdot2 - (-1)\cdot(-2) = -2,
\det\begin{pmatrix}0 & -4 \\[4pt] -2 & 10\end{pmatrix} = 0\cdot10 - (-4)\cdot(-2) = -8.
Substituindo:
\det(A) = (-1)\cdot 2 - 2\cdot(-2) + 1\cdot(-8) = -2 +4 -8 = -6.
Logo \det(A)=-6 (não zero, consistente com A invertível).]

Passo 5

Agora calculo a matriz de cofatores (mostro os menores e cofatores essenciais). Já usamos alguns menores; completo-os:
Menores e cofatores (resumo):
  • M_{11}=2, C_{11}=+2.
  • M_{12}=-2, C_{12}=-M_{12}=+2.
  • M_{13}=-8, C_{13}=+(-8)=-8.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 10 & 2\end{pmatrix}=-6, C_{21}=-M_{21}=6.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix}=0, C_{22}=0.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] -2 & 10\end{pmatrix}=-6, C_{23}=-M_{23}=6.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] -4 & -1\end{pmatrix}=2, C_{31}=+2.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}=1, C_{32}=-1.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & -4\end{pmatrix}=4, C_{33}=4.
A matriz de cofatores C é
C=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -8 \\[4pt] 6 & 0 & 6 \\[4pt] 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 6 & 2 \\[4pt] 2 & 0 & -1 \\[4pt] -8 & 6 & 4 \end{pmatrix}.
Assim
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\dfrac{1}{-6} \begin{pmatrix} 2 & 6 & 2 \\[4pt] 2 & 0 & -1 \\[4pt] -8 & 6 & 4 \end{pmatrix}.
Multiplicando por -\dfrac{1}{6} e simplificando frações:
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & -1 & -\dfrac{1}{3} \\[6pt] -\dfrac{1}{3} & 0 & \dfrac{1}{6} \\[6pt] \dfrac{4}{3} & -1 & -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora multiplico A^{-1} por A-B. Lembrete rápido de produto de matrizes: o elemento (i,j) do produto é o produto escalar da linha i da primeira matriz pela coluna j da segunda.
Já temos
A^{-1}=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & -1 & -\dfrac{1}{3} \\[6pt] -\dfrac{1}{3} & 0 & \dfrac{1}{6} \\[6pt] \dfrac{4}{3} & -1 & -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix},\qquad A-B=\begin{pmatrix} -1 & 5 & 0 \\[4pt] -2 & -9 & 0 \\[4pt] 0 & 11 & 2 \end{pmatrix}.
Calculo cada entrada de X=A^{-1}(A-B):
  • Linha 1 × coluna 1:
X_{11} = \left(-\dfrac{1}{3}\right)(-1) + (-1)(-2) + \left(-\dfrac{1}{3}\right)(0) = \dfrac{1}{3} + 2 = \dfrac{7}{3}.
  • Linha 1 × coluna 2:
X_{12} = \left(-\dfrac{1}{3}\right)5 + (-1)(-9) + \left(-\dfrac{1}{3}\right)11 = -\dfrac{5}{3} + 9 - \dfrac{11}{3} = 9 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{11}{3}.
  • Linha 1 × coluna 3:
X_{13} = \left(-\dfrac{1}{3}\right)0 + (-1)0 + \left(-\dfrac{1}{3}\right)2 = -\dfrac{2}{3}.
  • Linha 2 × coluna 1:
X_{21} = \left(-\dfrac{1}{3}\right)(-1) + 0(-2) + \dfrac{1}{6}\cdot 0 = \dfrac{1}{3}.
  • Linha 2 × coluna 2:
X_{22} = \left(-\dfrac{1}{3}\right)5 + 0(-9) + \dfrac{1}{6}\cdot 11 = -\dfrac{5}{3} + \dfrac{11}{6} = -\dfrac{10}{6} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{1}{6}.
  • Linha 2 × coluna 3:
X_{23} = \left(-\dfrac{1}{3}\right)0 + 0\cdot0 + \dfrac{1}{6}\cdot2 = \dfrac{1}{3}.
  • Linha 3 × coluna 1:
X_{31} = \dfrac{4}{3}(-1) + (-1)(-2) + \left(-\dfrac{2}{3}\right)0 = -\dfrac{4}{3} + 2 = \dfrac{2}{3}.
  • Linha 3 × coluna 2:
X_{32} = \dfrac{4}{3}\cdot5 + (-1)(-9) + \left(-\dfrac{2}{3}\right)11 = \dfrac{20}{3} + 9 - \dfrac{22}{3} = 9 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{25}{3}.
  • Linha 3 × coluna 3:
X_{33} = \dfrac{4}{3}\cdot0 + (-1)\cdot0 + \left(-\dfrac{2}{3}\right)2 = -\dfrac{4}{3}.
Portanto
X=\begin{pmatrix} \dfrac{7}{3} & \dfrac{11}{3} & -\dfrac{2}{3} \\[6pt] \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} \\[6pt] \dfrac{2}{3} & \dfrac{25}{3} & -\dfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
(Verificação rápida: poderia também calcular X=I-A^{-1}B; os cálculos conferem com o resultado acima.)]

Resposta

(a) X = A^{-1}(A - B) = I - A^{-1}B
(b) X=\begin{pmatrix} \dfrac{7}{3} & \dfrac{11}{3} & -\dfrac{2}{3} \\[6pt] \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} \\[6pt] \dfrac{2}{3} & \dfrac{25}{3} & -\dfrac{4}{3} \end{pmatrix}]

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