Questão 27. Suponha que A e B são matrizes inversíveis e I é a matriz identidade. Considere a equação matricial A X+B=A.
(a) Determine a matriz que satisfaz a equação.
(b) Se A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -4 & -1 \\\\ -2 & 10 & 2\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}0 & -3 & 1 \\\\ 2 & 5 & -1 \\\\ -2 & -1 & 0\end{array}\right], encontre a matriz X que satisfaz a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação matricial A X + B = A, onde A e B são matrizes inversíveis e I é a matriz identidade. As perguntas são:
(a) Determinar, de forma geral, a matriz X que satisfaz a equação.
A é invertível (logo existe A^{-1} tal que A^{-1}A=I).
A equação a resolver é linear em X: A X + B = A.]
Passo 2
Resolver a equação simbolicamente. Começando de
A X + B = A,
subtraio B de ambos os lados:
A X = A - B.
Agora, como A é invertível, posso multiplicar à esquerda por A^{-1}. Explico: multiplicar por A^{-1} “cancela” A porque A^{-1}A=I, e I X = X. Assim,
X = A^{-1}(A - B).
Uma forma alternativa, usando A^{-1}A=I, é distribuir A^{-1}:
X = A^{-1}A - A^{-1}B = I - A^{-1}B.
Ambas as expressões são equivalentes e dão a solução única para X (por causa de A invertível). Observação didática rápida: a inversa A^{-1} é a matriz que satisfaz A^{-1}A=AA^{-1}=I; só é permitida multiplicá-la quando A for invertível.
Passo 3
Agora calculo X para as matrizes numéricas dadas. Vou usar a forma X = A^{-1}(A-B). Primeiro calculo A-B.
Agora multiplico A^{-1} por A-B. Lembrete rápido de produto de matrizes: o elemento (i,j) do produto é o produto escalar da linha i da primeira matriz pela coluna j da segunda.