Encontre a inversa das matrizes onde k é uma constante não nula.
(a) [llllk & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & k & 1 0 & 0 & 0 & 1]
(b) [llllk & 0 & 0 & 0 1 & k & 0 & 0 0 & 1 & k & 0 0 & 0 & 1 & k]

Passo 1

Temos duas matrizes triangulares 4times4 dependentes de uma constante não nula k. No item (a) cada bloco 2times2 superior é da forma
k & 10 & 1
e podemos invertê-lo diretamente. No item (b) a matriz é da forma B=kI+N, em que N é nilpotente (tem uns só na subdiagonal) e satisfaz N^4=0, então usamos a série de Neumann
B^-1 ;=;1ksumj=0^3l(-Nkr)^j

Passo 2

Para (a) consideramos o bloco
A2=k & 10 & 1
Sabe-se que
A2^-1 =1/k & -1/k0 & 1
Como a matriz original é diag(A2,A2), seu inverso é
A^-1 = 1k & -1k & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1k & -1k 0 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Para (b) escrevemos
B=kI+N,
onde N tem 1 apenas em (2,1),(3,2),(4,3). Como N^4=0,
B^-1 =1kl(I-1kN+1k^2N^2-1k^3N^3r)
Calculando as potências de N e somando, obtemos
B^-1 = 1k & 0 & 0 & 0 -1k^2 & 1k & 0 & 0 1k^3 & -1k^2 & 1k & 0 -1k^4 & 1k^3 & -1k^2 & 1k

Resposta

(a)
A^-1 = 1k & -1k & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1k & -1k 0 & 0 & 0 & 1
(b)
B^-1 = 1k & 0 & 0 & 0 -1k^2 & 1k & 0 & 0 1k^3 & -1k^2 & 1k & 0 -1k^4 & 1k^3 & -1k^2 & 1k

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