Resolva o sistema invertendo a matriz de coeficientes
(a) lx+y=2 5 x+6 y=9
(b) lx+3 y+z=4 2 x+2 y+z=-1 2 x+3 y+x=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver dois sistemas lineares usando a inversa da matriz de coeficientes. O conteúdo principal é o método x = A^-1b. Para isso vamos recordar como inverter uma matriz 2times2 e usar o método de cofatores para a matriz 3times3.

Passo 2

Para o sistema (a) definimos
A = 1 & 1 5 & 6, b = 2 9,
e lembramos que, se
A = a & b c & d,
então
det(A)=ad-bc, A^-1 = 1det(A)d & -b -c & a

Passo 3

Calculamos o determinante e a inversa de A:
det(A)=1cdot6 - 5cdot1 = 6-5 = 1,
A^-1 = 6 & -1 -5 & 1

Passo 4

Aplicamos x = A^-1b:
x y = 6 & -1 -5 & 1 2 9 = 6cdot2 - 1cdot9 -5cdot2 + 1cdot9 = 3 -1

Passo 5

Para o sistema (b) assumimos que a terceira equação é
;2x+3y+z=3. Definimos
A = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 2 & 3 & 1 , b = 4 -1 3,
e usamos que
A^-1 = 1det(A)adj(A),
onde adj(A) é a matriz transposta de cofatores.

Passo 6

Calculamos o determinante de A:
det(A) =1cdotdet2&13&1 -3cdotdet2&12&1 +1cdotdet2&22&3 = (2-3)-3cdot0+(6-4)=1

Passo 7

Montamos a matriz de cofatores C e obtemos a adjunta:
C = -1 & 0 & 2 0 & -1 & 3 1 & 1 & -4 , adj(A)=C^T = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 3 & -4

Passo 8

Como , temos . Logo

Resposta

(a) (x,y)=(3,-1)
(b) (x,y,z)=(-1,4,-7)

Exercícios relacionados